Question

19．如图所示，某货场需将质量为m₁=200kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑的$\frac{1}{4}$圆轨道，使货物由轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=2.45m．地面上紧靠轨道依次排放两块完全相同的木板A、B，长度均为l=4.5m，质量均为 m₂=200kg，木板上表面与轨道末端相切．货物与木板间的动摩擦因数为μ₁，木板与地面间的动摩擦因数μ₂=0.2．（设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小．
（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ₁应满足的条件．
（3）若μ₁=0.5，求货物与木板B上表面之间摩擦产生的热量．

Answer 1

分析 （1）物体下滑的过程中，机械能守恒，根据机械能守恒可以得出到达底端时的速度，再由向心力的公式可以求得物体受到的支持力的大小，根据牛顿第三定律可以得到货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小；
（2）货物滑上木板A时，木板不动，说明此时货物对木板的摩擦力小于地面对木板的摩擦力的大小，而滑上木板B时，木板B开始滑动，说明此时货物对木板的摩擦力大于了地面对货物的摩擦力的大小，由此可以判断摩擦因数的范围．
（3）当μ₁=0.5时，货物在木板A上滑动时，分析木板的状态，由牛顿第二定律和匀变速直线运动的规律可以求出货物相对于木板滑行的距离，即可求解热量．

解答 解析：（1）设货物滑到圆轨道末端时的速度为v₀，对货物的下滑过程，根据机械能守恒定律得：
 m₁gR=$\frac{1}{2}$m₁v₀²，
代入数据解得：v₀=7m/s…①
设货物在轨道末端所受支持力的大小为F_N，根据牛顿第二定律得：
F_N-m₁g=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…②
联立①②式，代入数据得：
F_N=3mg=6000N…③
根据牛顿第三定律，货物对轨道的压力大小为6000 N，方向竖直向下．
（2）若滑上木板A时，木板不动，由受力分析得：
μ₁m₁g≤μ₂（m₁+2m₂）g…④
若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得
μ₁m₁g＞μ₂（m₁+m₂）g…⑤
联立 ④⑤式，代入数据解得：0.4＜μ₁≤0.6…⑥
（3）若μ₁=0.5，由 ⑥式可知，货物在木板 A上滑动时，木板不动，设货物有木板A上做减速运动时的加速度大小为a₁，由牛顿第二定律得：
μ₁m₁g=m₁a₁…⑦
设货物滑到木板 A末端时的速度为 v₁，由运动学公式得：
 v₁²-v₀²=-2a₁l…⑧
联立①⑦⑧式，代入数据得：v₁=2m/s…⑨
货物滑上木板 B时，做减速运动时的加速度大小仍为a₁=5m/s²，木板B做加速运动时的加速度大小a₂满足：
μ₁m₁g-μ₂（m₁+m₂）g=m₂a₂…⑩
解得：a₂=1 m/s²                                               
货物在木板B上相对滑动的时间 t₂满足
v₁-a₁t₂=a₂t₂…（11）
解得：t₂=$\frac{1}{3}$s      
此时货物和木板B的共同速度为：v₂=a₂t₂=$\frac{1}{3}$m/s…（12）
货物在木板B上相对滑动的距离为 
△s=$\frac{1}{2}（{v}_{1}+{v}_{2}）{t}_{2}$-$\frac{1}{2}（0+{v}_{2}）{t}_{2}$=$\frac{1}{3}$m＜l…（13）
说明货物没有滑出木板B，此后货物和木板B共同做匀减速运动，直到停止，货物与木板B上表面之间摩擦产生的热量为：
  Q=μ₁m₁g•△s=0.5×$200×10×\frac{1}{3}$J≈3.3×10²J…（14）
答：（1）货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小是6000N．
（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，μ₁应满足的条件为0.4＜μ₁≤0.6．
（3）若μ₁=0.5，货物与木板B上表面之间摩擦产生的热量为3.3×10²J．

点评 本题考查了机械能守恒、圆周运动和牛顿运动定律的应用，特别需要注意的是货物在水平面上运动时木板的运动状态，由于是两块木板，所以货物运到到不同的地方时木板的受力不一样．