Question

3．某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，地球的第一宇宙速度约为8m/s，地球表面处的重力加速度为10m/s²，此行星的第一宇宙速度约为32 m/s，此行星表面处的重力加速度为$\frac{80}{3}$ m/s²．

Answer 1

分析 本题采用比例法求解．根据万有引力等于重力，得到此行星表面处的重力加速度与地球表面处的重力加速度的比值，再求得行星表面处的重力加速度．再由v=$\sqrt{gR}$求出行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值，从而求得行星的第一宇宙速度．

解答 解：在星球表面上，根据万有引力等于向心力，有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
所以行星表面处的重力加速度与地球表面处的重力加速度之比为：$\frac{{g}_{行}}{{g}_{地}}$=$\frac{\frac{G{M}_{行}}{{R}_{行}^{2}}}{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}}$=$\frac{6}{1}$×$（\frac{1}{1.5}）^{2}$=$\frac{8}{3}$
则行星表面处的重力加速度为：g_行=$\frac{8}{3}$g_地=$\frac{80}{3}$m/s²．
由mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得：v=$\sqrt{gR}$
可得，行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为：$\frac{{v}_{行}}{{v}_{地}}$=$\frac{\sqrt{{g}_{行}{R}_{行}}}{\sqrt{{g}_{地}{R}_{地}}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}×6}$=4，则得此行星的第一宇宙速度为：v_行=4v_地=32km/s
故答案为：32，$\frac{80}{3}$．

点评 本题的关键是掌握万有引力等于重力得到星球表面重力加速度的表达式，运用比例法研究两个星球的第一宇宙速度和表面重加速度关系．