Question

10．如图所示，空间内有方向垂直纸面（竖直面）向里的有界匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度大小未知．区域I内有竖直向上的匀强电场，区域Ⅱ内有水平向右的匀强电场，两区域内的电场强度大小相等．现有一质量m=1×10^-2kg、电荷量q=1×10^-2C的带正电滑块从区域I左侧边界N点以v₀=4m/s的初速度沿光滑的水平面向右运动，进入区域Ⅰ后，滑块立即在区域I竖直平面内做匀速圆周运动，并落在与边界MN相距L=2m的A点，取重力加速度g=10m/s²．
（1）求匀强电场的电场强度大小E和区域I中磁场的磁感应强度大小B₁；
（2）若滑块在N点以v₁=6$\sqrt{2}$m/s的初速度沿水平面向右运动，当滑块经过Ⅰ区进入区域Ⅱ后恰好能沿直线运动，求区域Ⅱ内磁场的磁感应强度大小B₂及有界磁场区域I的宽度d．

Answer 1

分析 （1）小球进入复合场区域后，小球立即在竖直平面内做匀速圆周运动，说明重力与电场力的大小相等，方向相反；小球离开磁场后做平抛运动，将运动分解，即可求出下落的高度，然后结合几何关系由于洛伦兹力提供向心力的公式即可求出磁感应强度；
（2）小球进入区域Ⅱ后恰好能沿直线运动，说明小球受到的合外力为0，受力分析即可求出小球的速度的大小，结合动能定理即可求出有界磁场区域Ⅰ的宽度d及区域Ⅱ的磁感应强度B₂的大小．

解答 解：（1）小球进入复合场区域后，小球立即在竖直平面内做匀速圆周运动，说明重力与电场力的大小相等，方向相反；即：
qE=mg
所以：E=$\frac{mg}{q}=\frac{0.01×10}{0.01}=10$N/C
由于小球做匀速圆周运动，所以小球在复合场中运动的轨迹是半个圆，小球离开磁场后做平抛运动，将运动分解，水平方向：L=v₀t₁
得：${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{2}{4}s=0.5$s
小球下落的高度：$h=\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×10×0．{5}^{2}m=1.25$m
小球在复合场中运动的轨迹是半个圆，结合几何关系可得：h=2r
所以：r=$\frac{1}{2}$h=0.625m
小球做匀速圆周运动，洛伦兹力恰好提供向心力，得：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：B=$\frac{m{v}_{0}}{qr}=\frac{0.01×4}{0.01×0.625}=6.4$T
（2）小球进入区域Ⅱ后恰好能沿直线运动，说明小球受到的合外力为0，此时小球受到重力、水平方向的电场力和洛伦兹力的作用，由于电场力的大小与重力的大小相等，所以洛伦兹力的方向一定与重力、电场力的合力的方向相反，大小相等，如图：

由左手定则可知，小球运动的方向与x轴成45°角，洛伦兹力的大小：f=$\sqrt{2}$mg=$\sqrt{2}$×0.01×10=0.1$\sqrt{2}$N
又：f=qv₂B₂
所以：${B}_{2}=\frac{f}{q{v}_{2}}=\frac{0.1\sqrt{2}}{0.01×6\sqrt{2}}=\frac{5}{3}$T
小球在区域Ⅰ中仍然做匀速圆周运动，运动的半径：$r′=\frac{m{v}_{2}}{q{B}_{1}}=\frac{0.01×6\sqrt{2}}{0.01×6.4}=\frac{3\sqrt{2}}{3.2}$
小球在磁场中的偏转角是45°，由几何关系可得：$\frac{d}{r′}=sin45°$
所以：d=$\frac{\sqrt{2}}{2}r′=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{3.2}=\frac{3}{3.2}$m=$\frac{15}{16}$m
答：（1）匀强电场的电场强度是10N/C，区域Ⅰ中磁感应强度B₁的大小是6.4T；
（2）有界磁场区域Ⅰ的宽度是$\frac{15}{16}$m，区域Ⅱ的磁感应强度B₂的大小是$\frac{5}{3}$T．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，要注意当粒子在复合场中做匀速 圆周运动时，粒子受到的电场力与重力平衡．