Question

12．在平面直角坐标系所确定的平面内存在如图所示匀强磁场区域，在x轴上方磁场方向均垂直纸面向外，下方磁场方向均垂直纸面向里，已知第一、四象限内磁场大小均为B₁；二、三象限内磁场大小均为B₂．且B₁＜B₂．在y轴上某一点P（0，h）不断以与y轴负方向成45°角发射各种速率的带电粒子．所有粒子带电均为+q，质量均为m．这些粒子只受磁场力在平面内运动，试问：
（1）若发射的粒子中能够经过坐标原点O，则其速率应满足什么条件？
（2）若经过坐标原点的粒子通过第三、四象限的磁场偏转后第一次通过x正半轴时的速度方向恰好与x轴垂直，则磁场$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$是多少？

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律，推导半径公式，再由已知长度与半径的几何关系，即可求解；
（2）根据题意，结合几何关系，即可画出运动轨迹，从而求得运动轨道对应的半径，即可求解．

解答 解：（1）根据洛伦兹力提供向心力，带电粒子做匀速圆周运动，
可能是如图所示：

则有：${B}_{1}qv=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{1}}$；
解得：R₁=$\frac{mv}{{B}_{1}q}$；
由图中几何关系可知，R₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$h；
因此速率满足v=$\frac{\sqrt{2}{B}_{1}qh}{2m}$；
也可能是：

由图，结合几何关系，则有：n（$\sqrt{2}$r₁-$\sqrt{2}$r₂）=h；
解得：v=$\frac{\sqrt{2}qh{B}_{1}{B}_{2}}{2nm（{B}_{2}-{B}_{1}）}$
（2）由题意可知，带电粒子以45°入射，做$\frac{1}{4}$圆周进入第三象限，由几何的对称性，则仍做$\frac{1}{4}$圆周进入第四象限，
由于磁场偏转后第一次通过x正半轴时的速度方向恰好与x轴垂直，因此带电粒子在第四象限做$\frac{3}{8}$圆周运动，轨迹如上图所示．
带电粒子在洛伦兹力作用下，不做功，则速率不变，因此粒子在第一、四象限的运动半径相等，即为R₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$h；
而带电粒子在第三象限的运动半径，则为R₂=$\frac{{R}_{1}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$h；
根据半径公式R=$\frac{mv}{Bq}$，则有：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{1}{2}$；
答：（1）若发射的粒子中能够经过坐标原点O，则其速率应满足$\frac{\sqrt{2}{B}_{1}qh}{2m}$或$\frac{\sqrt{2}qh{B}_{1}{B}_{2}}{2nm（{B}_{2}-{B}_{1}）}$条件；
（2）若经过坐标原点的粒子通过第三、四象限的磁场偏转后第一次通过x正半轴时的速度方向恰好与x轴垂直，则磁场$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$是$\frac{1}{2}$．

点评 考查带电粒子在磁场中受到洛伦兹力，做匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律的应用，理解几何关系的正确建立，注意画出运动轨迹是解题的关键．