Question

4．如图所示，足够长的金属导轨MN、PQ平行放置，间距为L=0.5m，与水平面成θ=30°角，导轨与定值电阻R₁和R₂相连，且R₁=R₂=2Ω，R₁支路串联开关S，原来S闭合．匀强磁场垂直导轨平面向上，有一质量为m=1.6kg、长度为L=0.5m、电阻为r=2Ω的导体棒ab与导轨垂直放置，它与导轨的接触粗糙且始终接触良好，现让导体棒ab从静止开始释放，沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为v=2m/s，此时整个电路消耗的电功率为重力功率的$\frac{3}{4}$．重力加速度g取10m/s²，导轨电阻不计，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小和达到稳定状态后导体棒ab中的电流强度I；
（2）如果导体棒ab从静止释放沿导轨下滑x=1.2m距离后运动达到稳定状态，在这一过程中回路中产生的电热是多少？
（3）导体棒ab达到稳定状态后，断开开关S，从这时开始导体棒ab下滑一段距离后，通过导体棒ab横截面的电量为q=0.6C，求这段距离是多少？
（4）文字描述断开S后导体棒ab的运动性质，并尽可能多的求出该过程中描述运动状态的物理量．

Answer 1

分析 （1）当导体棒匀速运动时达到稳定状态，此时速率为V，重力功率为mgVsinθ．由E=BLV、I=$\frac{E}{{R}_{总}}$、
P_电=I²R_总，得到回路的总电功率P_电，根据电功率为重力功率的$\frac{3}{4}$，列式求磁感应强度B．并求出通过ab棒的电流I；
（2）根据重力功率等于电功率与克服摩擦力做功功率之和，列式求出摩擦力大小，由能量守恒求回路中产生的电热；
（3）S断开后，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=It，得到电量q与距离的关系，即可求出距离；
（4）当断开后，根据安培力与速度的关系，结合牛顿第二定律与运动学公式，即可求解．

解答 解：（1）S闭合，回路中的总电阻为：R_总=3Ω
当ab棒匀速下滑时，电动势为：$I=\frac{BLV}{R_总}$
棒中的感应电流为：$I=\frac{BLV}{R_总}$
总电功率为：P_总=I²R_总
重力的功率为：P_G=mgvsinθ
据题设条件有：${I^2}{R_总}=\frac{3}{4}mgvsinθ$
解得：$I=\frac{{\sqrt{mgvsinθ}}}{2}$=2A               
B=6T；                           
（2）设导体棒ab与导轨间的滑动摩擦力为f，由能量守恒有：
$fv=\frac{1}{4}mgvsinθ$
解得：$f=\frac{1}{4}mgsinθ=2N$
$Q=\frac{3}{4}mgsinθ•x-\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：$Q=\frac{3}{4}mgsinθ•x-\frac{1}{2}m{v^2}$=4J        
（3）S断开后，回路中的总电阻为：R'_总=2R₁=4Ω
设这一过程经历的时间为△t，通过导体棒ab的平均感应电流为：$q=\bar I△t=\frac{△Φ}{R_总}=\frac{BLx}{R_总}$，
导体棒ab下滑的距离为x，则得：$q=\bar I△t=\frac{△Φ}{R_总}=\frac{BLx}{R_总}$
解得：x=0.8m                                
（4）断开开关S时，电路总电阻变大，总电流变小，导体棒受到的安培力减小，
所以导体棒将做加速运动．而随着速度增大，感应电动势增大，电流增大，
因此运动过程中导体棒受到的安培力不断增大，合外力减小，加速度减小．
故断开开关S后，电路总电阻变大，导体棒做加速度减小的变加速运动．
断开开关S时：$I′=\frac{BLv}{{R}_{总}^{′}}=\frac{6×0.5×2}{4}A$=1.5A
${F_安}=B{I^'}L=6×1.5×0.5N=4.5N$
${a_1}=\frac{{mgsinθ-f-{F_安}}}{m}=\frac{8-2-4.5}{1.6}m/{s^2}=\frac{15}{16}m/{s^2}=0.9375m/{s^2}$
经过一段时间，合力为零，加速度为零，导体棒做匀速运动．
$mgsinθ=f+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{′}}{{R}_{总}^{′}}$
解得：${v}_{m}^{′}=\frac{（mgsinθ-f）{R}_{总}^{′}}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{8}{3}m/s$≈2.67m/s；
答：（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小6T和达到稳定状态后导体棒ab中的电流强度2A；
（2）在这一过程中回路中产生的电热是4J；
（3）这段距离是0.8m；
（4）断开S后导体棒ab的运动性质做加速度减小的变加速运动，最终速度为2.67m/s．

点评 解答本题关键是通过分析功率关系，求出磁感应强度和摩擦力，是电磁感应与电路结合的题目，明确电路的结构解决问题．同时，对于感应电量，要很熟练地根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=It进行推导，并掌握安培力与速度关系式．