Question

15．从A点斜向上抛出一个小球，小球到达B点后开始做平抛运动，曲线ABCD是小球运动的一段轨迹，建立如图所示的正交坐标系xOy，x轴沿水平方向，轨迹上三个点的坐标分别为A（-L，0）、C（L，0），D（2L，3L），小球受到的空气阻力忽略不计，求：
（1）小球通过BC和CD线段所用时间之比是多少？
（2）轨迹与y轴的交点B的坐标为多少？

Answer 1

分析 由图知，小球的轨迹是二次函数，开口向下，且过A（-L，0）、C（L，0），可设轨迹方程为 y=-a（x-L）（x+L），将D点坐标代入求出a，再求解B的坐标．
在竖直方向物体从B到D做自由落体运动，根据位移时间公式求得时间即可

解答 解：由图象可知，小球的轨迹是二次函数，开口向下，且过A（-L，0）、C（L，0），
设轨迹方程为：y=-a（x-L）（x+L）
将D的坐标 x=2L，y=3L代入上式得：a=-$\frac{1}{L}$
则 y=$\frac{1}{L}$（x-L）（x+L）
当x=0，得：y=-L，故B的坐标为（0，-L），
根据题意可知，B点为最高点，故从B点在竖直方向做自由落体运动，根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$可知
小球通过BC所需时间${t}_{BC}=\sqrt{\frac{2L}{g}}$
通过BD所需时间${t}_{BD}=\sqrt{\frac{8L}{g}}$
故通过CD所需时间${t}_{CD}={t}_{BD}-{t}_{BC}=\sqrt{\frac{2L}{g}}$
小球通过BC和CD线段所用时间之比是$\frac{{t}_{BC}}{{t}_{CD}}=\frac{1}{1}$
答：（1）小球通过BC和CD线段所用时间之比是1：1
（2）轨迹与y轴的交点B的坐标为为（0，-L）

点评 解决本题的关键要掌握二次函数方程的一般表达式，运用代入求值的方法求a．