Question

15．如图所示，为某高速公路的一个出口路段简示图，从匝道口A处驶出的汽车（图中未画出）先进入长度为150m、落差为5m路段的斜坡AB，后通过一段水平的圆弧路段BC，最后经过一段长度为180m的平直路面CD至收费口．现有一辆总质量为5000kg的汽车，以60km/h的速度匀速通过斜坡AB和圆弧路段BC，若汽车在斜坡AB上受到的阻力恒为车重的0.04倍，水平路面上转弯时由车轮与路面间的横向摩擦力提供向心力．设横向最大静摩擦力为车重的$\frac{5}{9}$倍，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）为保证行车安全，圆弧路段BC的半径R的最小值；
（2）汽车驶过斜坡AB过程中发动机所做的功．

Answer 1

分析 （1）轿车在BC段做匀速圆周运动，由静摩擦力充当向心力，为保证行车安全，车轮不打滑，所需要的向心力不大于最大静摩擦力，据此列式求解半径R的最小值．
（2）用动能定理求解．

解答 解：（1）汽车在BC段做圆周运动，静摩擦力提供向心力，
 由牛顿第二定律得：f=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，即：$\frac{5}{9}$mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
为了确保安全，则须满足 f≤μmg
联立解得：R≥50m，即：R_min=50m．　
（2）设汽车发动机所做功为W，由动能定理可得：
mgh+W-fL=0
代入数据解得：W=5×10⁴J．
答：（1）为保证行车安全，圆弧路段BC的半径R的最小值为50m；
（2）汽车驶过斜坡AB过程中发动机所做的功为5×10⁴J．

点评 此题考查了圆周运动和动能定理相结合的问题，解答本题的关键是知道物体做圆周运动向心力的来源．