Question

5．如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R=0.2m的光滑1/4圆形轨道，BC段为高为h=5m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一质量为0.2kg的小球从A点由静止开始下滑，到达B点时速度的大小为2m/s，离开B点做平抛运动（g=10m/s²），求：
（1）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C点的水平距离；
（2）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小；
（3）如果在BCD轨道上放置一个倾角θ=45°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B点后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置距离B点有多远．如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的高度求出平抛运动的时间，通过初速度和时间求出水平位移．
（2）根据动能定理求出B点的速度，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出小球对B点的压力大小．
（3）通过平抛运动的水平位移与底边长比较，判断能否落在斜面上，若能落在斜面上，根据水平位移和竖直位移的关系求出平抛运动的时间，结合初速度和时间求出水平位移，从而得出距离B点的距离．

解答 解：（1）根据$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}s=1s$，
则落地点与C点的水平距离x=v_Bt=2×1m=2m．
（2）根据动能定理得，mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得${v}_{B}=\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.2}m/s=2m/s$，
根据牛顿第二定律得，$N-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得N=mg+$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}=2+0.2×\frac{4}{0.2}N=6N$，
由牛顿第三定律知小球到达B点时对圆形轨道的压力大小为6 N，方向竖直向下．
（3）如图，斜面BEC的倾角θ=45°，CE长d=h=5 m，因为d＞x，所以小球离开B点后能落在斜面上；

假设小球第一次落在斜面上F点，BF长为L，小球从B点到F点的时间为t₂
Lcos θ=v_Bt₂ ①
Lsin θ=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$   ②
联立①②两式得t₂=0.4 s；L≈1.13 m．
答：（1）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C点的水平距离是2m；
（2）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小是6N；
（3）小球离开B点后能落到斜面上，它第一次落在斜面上的位置距离B点远1.13m．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律和圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．