Question

18．如图所示，足够长的U形光滑金属导轨平面与水平面成θ角，与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨间距为L，上端与电阻为R连接，导轨电阻不计，ab棒的质量为m，连接电路的电阻为r，金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终垂直且接触良好，当电阻R上产生的电热为Q时金属棒ab恰好达到最大速度，求：
（1）金属棒ab沿导轨下滑的最大速度v
（2）金属棒ab加速运动过程中通过金属棒的电量q．

Answer 1

分析 （1）金属棒先做加速度减小的变加速运动，当加速度为零做匀速运动，速度达到最大．根据平衡条件和闭合电路欧姆定律结合，可求得最大速度v．
（2）通过金属棒的电量q等于平均电流与时间的乘积，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律结合求出平均电流，由能量守恒求得金属棒下滑的距离，联立即可得解．

解答 解：（1）金属棒达到最大速度后做匀速运动，设此时电流为I，由平衡条件有
 mgsinθ=BIL
又 BLv=I（R+r）
联立得 v=$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）设金属棒ab加速运动过程的位移为x，电路中的平均电流为I₁，则
 q=I₁t
由闭合电路欧姆定律得  I₁=$\frac{△Ф}{（R+r）△t}$
而磁通量的变化量△Ф=BLx
由焦耳定律得 $\frac{{Q}_{r}}{Q}$=$\frac{r}{R}$
由能量守恒定律得  mgxsinθ=（Q+Q_r）+$\frac{1}{2}$mv²
解得 q=$\frac{2{B}^{4}{L}^{4}Q+{m}^{3}{g}^{2}R（R+r）si{n}^{2}θ}{2mgR{B}^{3}{L}^{3}sinθ}$
答：
（1）金属棒ab沿导轨下滑的最大速度v为$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）金属棒ab加速运动过程中通过金属棒的电量q为$\frac{2{B}^{4}{L}^{4}Q+{m}^{3}{g}^{2}R（R+r）si{n}^{2}θ}{2mgR{B}^{3}{L}^{3}sinθ}$．

点评 电磁感应综合题中，常常用到这个经验公式：感应电量q=n$\frac{△Φ}{R+r}$，常用来求位移．但在计算题中，不能直接作为公式用，要进行推导．