Question

12．若某卫星在离地球表面为h的空中沿圆形轨道绕地球飞行，周期为T．若地球半径R，引力常量为G．试推导：
（1）地球的质量表达式；                   
（2）地球表面的重力加速度表达式；
（3）地球的第一宇宙速度表达式．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出地球的质量．
（2）根据万有引力等于重力求出地球表面的重力加速度．
（3）根据重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．

解答 解：（1）设地球的质量为M，由万有引力定律可得：$G\frac{Mm}{{{（R+h）}^2}}=m\frac{{{4π}^2}}{T^2}（R+h）$
解得：$M=\frac{{{4π}^2}}{{{GT}^2}}{（R+h）}^3$
（2）设地球表面的重力加速度为g，根据万有引力等于重力得：$G\frac{Mm_1}{R^2}=m_1g$
解得：$g=\frac{{{4π}^2}}{{{R^2T}^2}}{（R+h）}^3$
（3）设地球的第一宇宙速度为v，根据重力提供向心力得：
$m_2g=m_2\frac{v^2}{R}$
解得：$V=\sqrt{\frac{{{4π}^2{（R+h）}^3}}{T^2R}}$
答：（1）地球的质量表达式$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}（R+h）_{\;}^{3}$；                   
（2）地球表面的重力加速度表达式$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}（R+h）_{\;}^{3}$；
（3）地球的第一宇宙速度表达式$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}R}}$．

点评 解决本题的关键知道不考虑地球自转时，万有引力等于重力．知道第一宇宙速度等于卫星贴着地球表面做匀速圆周运动的速度