Question

8．如图所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上．导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好．在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v₁匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内．
（1）求导体棒所达到的恒定速度v₂；
（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？
（3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？

Answer 1

分析 （1）当导体棒所达到的恒定速度v₂时，回路中总感应电动势为E=BL（v₁-v₂），电流I=$\frac{E}{R}$、F=BIL得到安培力表达式，根据平衡条件求得v₂；
（2）为使导体棒能随磁场运动，导体棒所受的阻力最大不能超过此时所受的安培力，根据E=BLv₁、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL，求出安培力即可求解．
（3）导体棒以恒定速度v₂运动时，单位时间内克服阻力所做的功即为克服阻力做功的功率，由P=fv₂求解．根据公式P=I²R求解电路中R消耗的电功率．

解答 解：（1）导体棒所达到的恒定速度v₂时，根据E=BL（v₁-v₂），$I=\frac{E}{R}$，
得导体棒所受的安培力为：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$
由于速度恒定时，则有：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$=f，
可得：v₂=v₁-$\frac{fR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）当磁场以速度v₁匀速向右移动时，产生的电流最大，此时的安培力最大，则有
E=BLv₁、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL，
联立得到安培力为：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过F，即阻力最大值为：
f_m=F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
（3）导体棒以恒定速度v₂运动时，单位时间内克服阻力所做的功即克服阻力做功的功率为
 P_导体棒=Fv₂=fv₂=$f{v}_{1}-\frac{{f}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
单位时间内克服阻力所做的功W=Pt=$f{v}_{1}-\frac{{f}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
电路中R消耗的电功率为：
P_电路=I²R=$\frac{{E}^{2}}{R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{R}$=$\frac{{f}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）导体棒所达到的恒定速度v₂为v₁-$\frac{fR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
（3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功为$f{v}_{1}-\frac{{f}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$，电路中消耗的电功率为 $\frac{{f}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；

点评 考查了电磁感应定律，闭合电路、牛顿运动定律、相对运动，注意相对运动时，如何求出功率及能量．