Question

15．如图甲，右端固定的压缩弹簧，将小球由静止弹出，小球从轨道末端A竖直飞出，恰好从转盘的M孔向上穿出，又恰好从N孔落下．己知弹簧弹性势能E=9J，小球质量m=0.5kg，半径为R=1m的$\frac{1}{4}$圆轨道与水平轨道平滑连接，整条轨道的中间呈V形（如图乙），夹角为60°（如图丙）．圆盘匀速转动，竖直轴与盘面垂直，孔M、N在同一条直径上，且紧挨轨道上端A．不计一切摩擦、空气阻力及小球通过孔的时间，g=10m/s²．求：
（1）小球在通过圆轨道上端A时，V形槽每个面对小球支持力的大小；
（2）圆盘转动的最小角速度ω．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律求出经过M点的速度，再根据牛顿第二定律结合力的合成原则求解V形槽每个面对小球支持力的大小；
（2）由运动学公式，小球离开A又回到A的时间，这段时间内，圆盘转动（n+$\frac{1}{2}$）T，结合周期和角速度关系求解即可．

解答 解：（1）由机械能守恒定律得：$E=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+mgR$
代入数据解得：v₁=4m/s
由牛顿第二定律得：${F_向}=\frac{mv_1^2}{R}$=8N
根据几何关系可知，V形槽对小球的两支持力夹角为120°，
则V形槽每个面对小球支持力的大小F=F_向=8N，
（2）由运动学公式，小球离开A又回到A的时间为：$t=\frac{{2{v_1}}}{g}=0.8s$，
刚好从N空落下，需满足：$t=\frac{T}{2}$+nT（n=0，1，2…）
且$T=\frac{2π}{ω}$
解得：$ω=\frac{5π}{4}$（2n+1）（n=0，1，2…）．
答：（1）小球在通过圆轨道上端A时，V形槽每个面对小球支持力的大小为8N；
（2）圆盘转动的最小角速度ω为$\frac{5π}{4}$（2n+1）（n=0，1，2…）．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律、牛顿第二定律以及运动学基本公式的直接应用，要求同学们能正确分析物体的运动情况和受力情况，注意圆周运动具有周期性，难度适中．