Question

如图所示，无限长金属导轨EF、PQ固定在倾角为θ=30°的光滑绝缘斜面上，轨道间距L=1m，底部接入一阻值为R=0.4Ω的定值电阻，上端开口．垂直斜面向上的匀强磁场的磁感应强度B=2T．一质量为m=0.8kg的金属棒ab与导轨接触良好，ab与导轨间没有摩擦，ab连入导轨间的电阻r=0.1Ω，电路中其余电阻不计．现用一质量为M=2kg的物体通过一不可伸长的轻质细绳绕过光滑的定滑轮与ab相连．由静止释放M，不计空气阻力，当M下落高度h=2.0m时，ab开始匀速运动（运动中ab始终垂直导轨，并接触良好，g=10m/s²）．求：
（1）ab棒沿斜面向上运动的最大速度；
（2）ab棒从开始运动到匀速运动的这段时间内电阻R上产生的热量；
（3）ab棒从开始运动到匀速运动的这段时间内流过电阻R的总电量．

Answer 1

分析：（1）由静止释放M，ab棒先向上做加速运动，随着速度增大，产生的感应电流增大，所受的安培力增大，加速度减小，当加速度为零时做匀速运动，速度就达到最大值．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律推导出安培力与速度的关系式，结合平衡条件求解最大速度．
（2）在ab棒从开始运动到匀速运动的过程中，系统的重力势能减小，转化为系统增加的动能和焦耳热，根据能量守恒求出总的焦耳热，再由焦耳定律求电阻R上产生的热量．
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式求解电量．

解答：解：（1）如图所示，在ab棒做加速运动时，由于速度v的增加，安培力F变大，ab棒在做加速度逐渐减小的加速运动，当a=0时，
ab棒速度最大的为v_m，则：
Mg=mgsinθ+F                
又F=BIL=BL

BLvm

R+r

=

B2L2vm

R+r

               
联立以上各式得：v_m=

(Mg-mgsinθ)(R+r)

B2L2

=

(20-8×sin30°)×(0.4+0.1)

22×12

=2m/s                      
（2）由系统的总能量守恒可知，系统减小的重力势能等于系统增加的动能、焦耳热之和，则有：
Mgh-mghsinθ=

1

2

（m+M）v_m²+Q          
解得：Q=Mgh-mghsinθ-

1

2

（m+M）v_m²=20×2-8×2×sin30°-

1

2

×（2+0.8）×2²=26.4J，
由于R与r串联，电流相等，则根据焦耳定律得，电阻R上产生的热量：Q_R=

R

R+r

Q=

0.4

0.4+0.1

×26.4J=21.12J                            
（3）因为流过电路的电量q=

.

I

△t，

.

I

=

. E

R+r

，E=

△φ

△t

得：q=

△φ

R+r

=

BLh

R+r

=

2×1×2

0.4+0.1

=8.0C              
答：（1）ab棒沿斜面向上运动的最大速度为2m/s；
（2）ab棒从开始运动到匀速运动的这段时间内电阻R上产生的热量为21.12J；
（3）ab棒从开始运动到匀速运动的这段时间内流过电阻R的总电量为8.0C．

点评：本题有两个关键：一是推导安培力与速度的关系；二是推导感应电荷量q的表达式，对于它们的结果要理解记牢，有助于分析和处理电磁感应的问题．