Question

6．如图所示，一质量为M的光滑凹槽静止于光滑水平地面上，AB处于同一水平面，A、B间距离为s，C为槽的最低点，C和A的高度差为h，把一大小可忽略质量为m的小球从B点由静止释放，试求：
（1）小球运动到凹槽最低点时的速度大小；
（2）小球从开始释放到第一次速度为零的时间内，凹槽发生的位移大小．

Answer 1

分析 （1）小球和凹槽水平方向动量守恒，系统机械能守恒，以向左为正，根据动量守恒定律以及机械能守恒定律列式求解；
（2）设位移了x，水平方向动量守恒，根据动量守恒定律以及位移关系列式求解．

解答 解：（1）设小球运动到凹槽最低点的过程中，小球和凹槽水平方向动量守恒，系统机械能守恒，以向左为正，根据动量守恒定律以及机械能守恒定律得：
mv₁-Mv₂=0
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{2}}^{2}=mgh$
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2Mgh}{M+m}}$
（2）设位移了x，水平方向动量守恒，始终有mv=Mv′；又v对t的积分为s-x，那么v′对t的积分为$\frac{m（s-x）}{M}$，
又$\frac{m（s-x）}{M}$=x，解得x=$\frac{ms}{M+m}$
答：（1）小球运动到凹槽最低点时的速度大小为$\sqrt{\frac{2Mgh}{M+m}}$；
（2）小球从开始释放到第一次速度为零的时间内，凹槽发生的位移大小为$\frac{ms}{M+m}$．

点评 本题主要考查了动量守恒定律以及机械能守恒定律的直接应用，但是本题不常规，第二问要用到积分原理，难度较大，属于难题．