Question

13．如图所示，某一在竖直平面内的轨道由倾斜轨道AB、水平轨道BC、圆轨道及水平轨道CD平滑连接而成．轨道AB与水平方向夹角θ=60°，长度L₁=$\frac{9}{5}$$\sqrt{3}$m，轨道BC长度L₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．D点离水平地面EF的高度h=0.9m．现将一个小球从A点由静止释放．假定轨道阻力可忽略不计，g取10m/s²．求：
（1）小球滑过C点时的速度大小v_C；
（2）若圆轨道半径R=1m，小球在地面EF上的落点离D点的水平距离；
（3）要使小球始终不脱离圆轨道，求圆轨道半径R应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）对A到C运动过程应用机械能守恒，即可求解；
（2）由机械能守恒求得在D的速度，然后根据平抛运动规律球儿水平位移；
（3）由机械能守恒求得在最高点的速度，然后应用牛顿第二定律即可．

解答 解：（1）小球运动过程只有重力做功，故机械能守恒，则有：$mg{L}_{1}sinθ=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{2g{L}_{1}sinθ}=3\sqrt{6}m/s$；
（2）设小球可通过圆轨道最高点，在圆轨道最高点速度为v，由机械能守恒可得：$mg（{L}_{1}sinθ-2R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$\frac{m{v}^{2}}{R}=\frac{2mg（{L}_{1}sinθ-2R）}{R}=1.4mg＞mg$，故小球可以通过最高点；
由机械能守恒可得：${v}_{D}={v}_{C}=3\sqrt{6}m/s$
小球从D点抛出做平抛运动，故有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
小球在地面EF上的落点离D点的水平距离为：$x={v}_{D}t={v}_{D}\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{9\sqrt{3}}{5}m$；
（3）要使小球始终不脱离圆轨道，那么在最高点的向心力不小于重力，由（2）可得：$\frac{2mg（{L}_{1}sinθ-2R）}{R}≥mg$
解得：$R≤\frac{27}{25}m$；
答：（1）小球滑过C点时的速度大小v_C为$3\sqrt{6}m/s$；
（2）若圆轨道半径R=1m，小球在地面EF上的落点离D点的水平距离为$\frac{9\sqrt{3}}{5}m$；
（3）要使小球始终不脱离圆轨道，圆轨道半径R应不大于$\frac{27}{25}m$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．