Question

2．如图，质量为m的小球放在质量为M的大球顶上，M的下端距地面的高度为h．现将二者同时无初速度释放，二者落下撞击地面后又弹起．已知该过程可视为M先与地面相碰，然后再立即与m相碰．假设所有的碰撞都是弹性的，且都发生在竖直轴上．若经过上述过程后，M的速度为零．空气阻力不计，重力加速度为g，求：
（1）$\frac{M}{m}$的值；
 （2）m弹起的高度是h的几倍．

Answer 1

分析 （1）下落过程中，根据机械能守恒求解小球第一次与地面相碰前的瞬间的速度，然后对两个小球组成的系统使用动量守恒定律和动能守恒，即可求出二者质量之间的关系；
（2）小球与大球碰撞后上升的过程，根据机械能守恒列式求解最大高度．

解答 解：（1）下落过程中，两个球的机械能守恒，得：
Mgh+mgh=$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{0}^{2}$
大球反弹后说得对方向向上，与小球碰撞的过程中二者的竖直方向的动量守恒，选取向上为正方向，则：
Mv₀-mv₀=0+mv₂
又由于 是弹性碰撞，则满足：$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=0+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
联立可得：${v}_{2}=2{v}_{0}=2\sqrt{2gh}$，$\frac{M}{m}=3$
（2）m向上弹起的过程中机械能守恒，得：$mgH=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：H=4h
即m弹起的高度是h的4倍．
答：（1）$\frac{M}{m}$的值是3；
 （2）m弹起的高度是h的4倍．

点评 本题主要考查碰撞过程中的动量守恒定律的应用，但涉及的过程比较多，较为复杂．在解答的过程中要注意对运动过程的把握，正确选择合理、合适的公式．