Question

4．一汽车通过圆形拱桥时的速率恒定，拱桥的半径R=10m，试求：
（1）汽车在最高点时对拱桥的压力为车重的一半时的速率．
（2）汽车在最高点恰好不受摩擦力时的速率（取g=10m/s²）．

Answer 1

分析 （1）汽车在桥顶，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出汽车对拱桥的压力为车重的一半时的速率．
（2）当汽车在最高点对拱桥的压力为零时不受摩擦力，当汽车对拱桥的压力为零时，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出汽车的速率．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得：mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
因为N=$\frac{1}{2}$mg，
解得：v=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$=$\sqrt{\frac{1}{2}×10×10}$=5$\sqrt{2}$m/s；
（2）当汽车在最高点对拱桥的压力为零时不受摩擦力，当压力为零时，重力提供向心力，有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×10}$=10m/s．
答：（1）汽车对拱桥的压力为车重的一半时的速率为5$\sqrt{2}$m/s；
（2）汽车对拱桥的摩擦力为零时的速率为10m/s．

点评 解决本题的关键知道汽车做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解