Question

12．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的光滑半圆形导轨在最低点B平滑衔接，导轨半径为R．一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，之后恰能沿导轨到达C点，重力加速度为g．试求：
（1）释放物体时弹簧的弹性势能；
（2）将物体质量减半后，再从A点由静止释放，之后沿导轨通过C点，求落地点到B的距离．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律得出B点的速度，结合能量守恒定律求出物体在A点时的弹簧的弹性势能．
（2）对从B到C过程和从开始到C过程根据机械能守恒定律列式，求得速度，再根据平抛运动的规律可求得水平位移．

解答 解：（1）物体在C点的速度为v_C，由题意可知：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
物体从B点运动到C点的过程中，由机械能守恒定律可得：
2mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²
从开始到C由机械能守恒定律得：
E_P=2mgR+$\frac{1}{2}$mv²
解得：E_P=$\frac{5}{2}$mgR．
（2）物体离开C点后做平抛运动，设落地点与B点的距离为s，由平抛运动规律得：
s=v_Ct，
2R=$\frac{1}{2}$gt²
解得：s=2$\sqrt{6}$R．
答：（1）物体在A点时弹簧的弹性势能问为2.5mgR；
（2）物体离开C点后落回水平面时的位置与B点的距离为2$\sqrt{6}$R．

点评 本题考查了牛顿第二定律和能量守恒定律的综合运用，知道圆周运动向心力的来源是解决本题的关键，同时注意根据功能关系进行分析，明确功能关系的应用．