Question

15．如图，滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ=37°，运动员的质量m=50kg．不计空气阻力．
（1）A点与O点的距离L；
（2）运动员离开O点时的速度大小，以及方向；
（3）若滑雪者的速度分别为v，2v，3v且郡落到斜面上．所用时间之比，飞行水平距离之比，竖直距离之比．以及位移大小之比、速度方向有什么关系？
（4）运动何时离开斜面最远，最远距离是多少？

Answer 1

分析 （1）从O点水平飞出后，人做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，根据分位移公式和位移的合成可以求得A点与O点的距离L；
（2）运动员落在斜面上时，竖直位移与水平位移之比等于tanθ，由此列式可求得时间，再求出水平距离、竖直距离、速度方向与水平方向的夹角表达式，即可求解相关比例．
（3）当运动员的速度方向与斜面平行时，运动员离斜面最远，将速度分解求出运动时间．将运动员的平抛运动分解为平行于斜面方向与垂直于斜面方向，运动员在垂直于斜面方向做初速度为v₀sinθ，加速度大小为-gcosθ的匀减速运动，由位移公式求出运动员离斜坡的最大距离．

解答 解：（1）运动员在竖直方向做自由落体运动，
  Lsin37°=$\frac{1}{2}$gt²
所以A点与O点的距离为：
  L=$\frac{g{t}^{2}}{2sin37°}$=$\frac{10×{3}^{2}}{2×0.6}$=75m．
（2）设运动员离开O点时的速度大小为v₀．
水平位移 x=Lcos37°=v₀t
得 v₀=20m/s，速度方向水平向右．
（3）设运动员离开O点的速度为v₀，运动员在水平方向做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，落在斜面上时有：
  tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$，得 t=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$∝v₀，则时间之比为 1：2：3．
则飞行的水平距离 x=v₀t=$\frac{2{v}_{0}^{2}tanθ}{g}$∝v₀²，则水平距离之比为 1：4：9．
竖直距离 y=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{2{v}_{0}^{2}ta{n}^{2}θ}{g}$∝v₀²，则竖直距离之比为 1：4：9．
位移大小 S=$\frac{x}{cosθ}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}tanθ}{gcosθ}$∝v₀²，则位移大小之比为 1：4：9．
速度方向与竖直方向的夹角正切 tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$=2tanθ=定值，与初速度大小无关，则速度方向相同．
（4）设经过时间T，运动员的速度方向与斜面平行，此时运动员离斜面最远．则有
   v_y=v₀tanθ，又v_y=gT
解得  T=1.5s
将运动员的平抛运动分解为平行于斜面方向与垂直于斜面方向，运动员在垂直于斜面方向做初速度大小为v₀sinθ，加速度大小为-gcosθ的匀减速运动，则得到
   运动员离斜坡的最大距离 S_m=v₀sinθT-$\frac{1}{2}gcosθ{T}^{2}$
代入解得 S_m=9m．
答：（1）A点与O点的距离L是75m；
（2）运动员离开O点时的速度大小是20m/s，方向水平向右；
（3）若滑雪者的速度分别为v，2v，3v且郡落到斜面上．所用时间之比是1：2：3，飞行水平距离之比是1：4：9，竖直距离之比是1：4：9，位移大小之比是1：4：9，速度方向相同．
（4）运动飞出1.5s时离开斜面最远，最远距离是9m．

点评 本题中前三小题是常规题，抓住斜面的倾角反映了位移的方向，利用竖直分位移与水平分位移的比值等于斜面倾角的正切是关键．第（4）问采用另一种分解方法进行处理，也要学会．