Question

11．2012年10月，美国耶鲁大学的研究人员发现了一颗完全由钻石组成的星球，通过观测发现该星球的半径是地球的2倍，质量是地球的8倍．设在该星球表面附近绕星球运行的卫星的角速度为ω₁，线速度为v₁，在地球表面附近绕地球运行的卫星的角速度为ω₂、线速度为v₂，则$\frac{{ω}_{1}{v}_{1}}{{ω}_{2}{v}_{2}}$为（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 对星球表面和地球表面的卫星，分别根据万有引力提供向心力列式，求出角速度之比和线速度之比，最后综合得出结果．

解答 解：在星球表面根据万有引力提供向心力，有：
$G\frac{{M}_{1}^{\;}m}{{R}_{1}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}=m{ω}_{1}^{2}{R}_{1}^{\;}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{1}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}}$，${ω}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{1}^{\;}}{{R}_{1}^{3}}}$
在地球表面根据万有引力提供向心力，有：
$G\frac{{M}_{2}^{\;}m}{{R}_{2}^{2}}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}=m{ω}_{2}^{2}{R}_{2}^{\;}$
解得：${v}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{2}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}}$，${ω}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{2}^{\;}}{{R}_{2}^{3}}}$
$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{1}^{\;}}{{M}_{2}^{\;}}\frac{{R}_{2}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}}=\sqrt{\frac{8}{1}×\frac{1}{2}}=2$
$\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{1}^{\;}}{{M}_{2}^{\;}}\frac{{R}_{2}^{3}}{{R}_{1}^{3}}}=\sqrt{\frac{8}{1}×（\frac{1}{2}）_{\;}^{3}}=1$
所以有$\frac{{ω}_{1}^{\;}{v}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}{v}_{2}^{\;}}=\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}}×\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=1×2=2$，故C正确，ABD错误；
故选：C

点评 求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．