Question

2．目前雾霾天气仍然困扰人们，为了解决此难题很多环保组织和环保爱好者不断研究．某个环保组织研究发现通过降雨能有效解决雾霾天气．当雨滴在空中下落时，不断与漂浮在空气中的雾霾颗粒相遇并结合为一体，其质量不断增大，直至落地．现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始质量为m，初速度为v₀，每个雾霾颗粒质量均为m₀，假设雾霾颗粒均匀分布，且雨滴每下落距离h后才与静止的雾霾颗粒碰撞并立即结合在一起．试求：
（1）若不计重力和空气阻力，求第n次碰撞后雨滴的速度大小．
（2）若不计空气阻力，但考虑重力，求第1次碰撞后雨滴的速度大小．
（3）若初始时雨滴受到的空气阻力是f，假设空气阻力只与结合体的质量有关．以后每碰撞一次结合体受到的空气阻力都变为碰前的2倍，当第n次碰后结合体的机械能为E，求此过程因碰撞损失的机械能△E．

Answer 1

分析 （1）不计重力和空气阻力时，全过程碰撞过程中均可认为动量守恒，则对全程分析，根据动量守恒定律可求得第n次碰撞后雨滴的速度大小；
（2）如果考虑重力，则碰撞前雨滴做匀加速运动，由速度和位移公式可求得碰前的速度，再根据碰撞过程的动量守恒即可求得碰后速度；
（3）对全过程利用功能关系进行列式，同时根据阻力的变化规律得出空气阻力做功的表达式，联立即可求得损失的机械能．

解答 解：（1）不计重力和空气阻力，设向下为正方向，全过程中动量守恒
mv₀=（m+nm₀）v_n     
得 V_n=$\frac{m{v}_{0}}{m+n{m}_{0}}$    
（2）若只受到重力，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，
第1次碰撞前v₁²=v₀²+2gh
碰撞瞬间动量守恒 则有 
mv₁=（m+m₀）v₁′
解得v₁′=$\frac{m}{m+{m}_{0}}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gh}$
（3）由功能原理及能量守恒得：
mgnh+$\frac{1}{2}$mv₀²+m₀g{（n-1）h+（n-2）h+（n-3）h+…[n-（n-1）h]}=E+△E+W_f
又W_f=fh+2fh+4fh+…2^n-1fh
两式联立解得△E=nmgh+$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{n（n-1）}{2}$m₀gh-E-（2^n-1）fh     
答：（1）若不计重力和空气阻力，第n次碰撞后雨滴的速度大小为$\frac{m{v}_{0}}{m+n{m}_{0}}$   
（2）若不计空气阻力，但考虑重力，求第1次碰撞后雨滴的速度大小为$\frac{m}{m+{m}_{0}}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gh}$
（3）此过程因碰撞损失的机械能△E为nmgh+$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{n（n-1）}{2}$m₀gh-E-（2^n-1）fh．

点评 本题考查动量守恒定律以及功能关系的应用，解题的难点在于正确找出对应的表达通式，再利用功能关系进行列式求解，所以本题对学生应用数学分析物理问题的能力要求较高．