Question

17．某地球同步通信卫星的质量为m，h为该卫星离地面的高度、R₀表示地球的半径、g₀表示地球表面处的重力加速度．求：
（1）地球同步通信卫星的环绕速度v；
（2）地球同步通信卫星的运行周期T．

Answer 1

分析 设地球的质量为M，静止在地面上的物体质量为m，根据引力提供向心力，即可求解环绕的速度；
再根据地球表面重力等于向心力列式，再根据人造地球卫星做匀速圆周运动时由万有引力提供向心力列式，由以上两式即可求得该人造地球卫星的周期．

解答 解：（1）同步卫星圆周运动由万有引力提供向心力，有：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{0}+h}}$
设质量为m′的物体，在地球表面附近有：
$\frac{GMm′}{{R}_{0}^{2}}=m′{g}_{0}$
且：GM=${g}_{0}{R}_{0}^{2}$
得：v=$\sqrt{\frac{{g}_{0}{R}_{0}^{2}}{{R}_{0}+h}}$
（2）地球同步通信卫星的运行周期T为：
$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2π（{R}_{0}+h）}{v}$
得：T=2π$\sqrt{\frac{（{R}_{0}+h）^{3}}{{g}_{0}{R}_{0}^{2}}}$；
答：（1）地球同步通信卫星的环绕速度$\sqrt{\frac{{g}_{0}{R}_{0}^{2}}{{R}_{0}+h}}$；
（2）地球同步通信卫星的运行周期2π$\sqrt{\frac{（{R}_{0}+h）^{3}}{{g}_{0}{R}_{0}^{2}}}$．

点评 本题是万有引力提供向心力公式的直接应用，属于基础题，注意轨道半径与地球半径的不同，学生容易将高度当作轨道半径来计算．