Question

14．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．求：
（1）地球的第一宇宙速度v₁；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度等于卫星贴近地球表面做圆周运动的速度，其轨道半径近似等于地球的半径，根据重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．
（2）根据万有引力等于向心力，从而求出卫星的运行周期．

解答 解：（1）卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动时受到的万有引力近似等于重力，设飞船的质量为m，地球的质量为M，则有：
  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ 解得：v₁=$\sqrt{gR}$
（2）设卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，
由万有引力定律和向心力得：
  G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m（R+h）$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解卫星的运行周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{g{R}_{2}}}$；
答：（1）地球的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，卫星的运行周期$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{g{R}_{2}}}$．

点评 解决本题的关键知道不考虑地球自转时，万有引力等于重力．知道第一宇宙速度等于卫星贴着地球表面做匀速圆周运动的速度．