Question

6．如图所示，三角形ABC为某透明介质的横截面，O为BC中点，位于截面所在平面内的一束光线自O以角度i入射，第一次到达AB边恰好发生全反射．已知θ=15°，BC边长为2L，该介质的折射率为$\sqrt{2}$．求：
（i）入射角i
（ii）从入射到发生第一次全反射所用的时间（设光在真空中的速度为c，可能用到：sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$或 tan15°=2-$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 ①光线到达AB边恰好发生全反射，由sinC=$\frac{1}{n}$求临界角C，由几何关系得到光线在BC面上的折射角，折射定律得到入射角；
②根据正弦定理求出光线在介质中路程，由v=$\frac{c}{n}$求出玻璃中的传播速度，进而求出所用时间．

解答 解：（i）根据全反射规律可知，光线在AB面上P点的入射角等于临界角C，由折射定律得：
sinC=$\frac{1}{n}$…①
代入数据得 C=45°…②
设光线在BC面上的折射角为r，由几何关系得
  r=30°…③
根据光的折射定律 n=$\frac{sini}{sinr}$…④
联立③④式代入数据得 i=45°…⑤
（ii）在△OPB中，根据正弦定理得：$\frac{\overline{OP}}{sin75°}$=$\frac{L}{sin45°}$…⑥
设所用时间为t，光线在介质中的速度为v，得 $\overline{OP}$=vt…⑦
又有 v=$\frac{c}{n}$…⑧
联立⑥⑦⑧式，代入数据得 t=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2c}$L…⑨
答：（i）入射角i是45°．
（ii）从入射到发生第一次全反射所用的时间是$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2c}$L．

点评 解决本题的关键是掌握全反射的条件和临界角公式，正确画出光路图，再结合数学知识和折射定律进行研究．