题目内容

15．如图所示高度h=0.6m的光滑圆弧形轨道AB在B点与长为L=1.2m的水平粗糙轨道BC相切，在C点固定一竖直挡板，质量m=1kg的小球从A点由静止滑下，小球沿轨道ABC运动并与挡板发生碰撞，已知∠AOB=60°，圆心为O，取g=10m/s2．求：
（1）小球第一次到达B点的速度；
（2）小球第一次运动到B时在B点左右两侧对轨道压力之比；
（3）小物块与墙壁碰撞后速度方向反向，大小为碰前的一半，且只发生一次碰撞，则小物块与轨道CB之间的动摩擦因数μ的取值范围多大？

分析 （1）小球在光滑轨道上滑动的过程，只有重力做功，机械能守恒，据此列式求解．
（2）由牛顿第二定律求出小球在B点左侧时轨道对小球的支持力，由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力．在B点的右侧，由平衡条件和牛顿第三定律得到小球对轨道的压力，即可求解压力之比．
（3）对于全过程，运用动能定理列式，根据已知条件分析小物块在BC上滑行的总路程范围，求出μ的取值范围．

解答 解：（1）根据机械能守恒定律得：
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
可得 vB=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.6}$=2$\sqrt{3}$m/s
（2）设圆轨道的半径为R，则 h=R（1-cos60°）
得 R=2h=1.2m
小球在B点左侧时，由牛顿第二定律得：N1-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，N1=m（g+$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$）=1×（10+$\frac{12}{1.2}$）=20N
由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力 N1′=N1=20N
小球在B点右侧时，小球对轨道的压力 N2′=mg=10N
故N1′：N2′=2：1
（3）设小物块与墙壁碰撞前速度为v，则碰后速度为 $\frac{v}{2}$．
由功能关系：mgh-μmgL=$\frac{1}{2}$mv2
μmgx=$\frac{1}{2}$m（$\frac{v}{2}$）2
且有 x≤2L
则 μ≥$\frac{1}{18}$
若小物块要能与墙壁碰撞，则：mgh＞μmgL
  μ＜$\frac{1}{2}$；
故小物块与轨道CD之间的动摩擦因数μ的取值范围为：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$
答：
（1）小球第一次到达B点的速度为2$\sqrt{3}$m/s；
（2）小球第一次运动到B时在B点左右两侧对轨道压力之比为2：1．
（3）小物块与轨道CB之间的动摩擦因数μ的取值范围为：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题是动能定理、机械能守恒和向心力的综合，关键要明确滑动摩擦力做功与总路程有关，准确把握临界条件进行解答．

练习册系列答案
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