Question

将一总质量为m、总电阻为R、每边边长为L的均匀导线制成的正方形闭合线框ABCD置于磁场方向垂直纸面向里、磁感强度大小按B=B₀+ky变化（k为大于零的常数）的水平有界磁场上方h处，如图所示．从图示位置静止释放线框，运动过程中线框平面保持在竖直平面内，且CD边始终与x轴平行． 当线框在有界磁场中下降h₀（h₀＜L）高度时达到最大速度，线框的AB边刚进入磁场时开始做匀速运动，重力加速度为g，求：
（1）当CD边刚进入磁场切割磁感线时，CD两点间的电势差大小；
（2）当线框在有界磁场中下降h₀高度时速度大小v₁；
（3）线框从开始释放到线框AB边刚进入磁场的过程中产生的电能△E．

Answer 1

分析：（1）根据自由落体运动规律得，v=

2gh

，根据法拉第电磁感应定律求出CD边切割磁感线产生的感应电动势为E=B₀Lv，根据闭合回路欧姆定律，CD两点间的电势差大小．
（2）当线框在有界磁场中下降h₀高度时，根据电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得到电路中产生的感应电流I=

(B0+kh0)Lv1

R

．线框加速度为零达到最大速度，由平衡条件求解v₁．
（3）线框匀速直线运动时，受力平衡，根据平衡条件可求得线框匀速运动的速度，再运用能量守恒定律求解电能△E．

解答：解：（1）设CD边刚进入磁场切割磁感线时的速度大小为v，根据自由落体运动规律得：v=

2gh

根据法拉第电磁感应定律得，CD边切割磁感线产生的感应电动势为：E=B₀Lv
根据闭合回路欧姆定律，CD两点间的电势差大小：U_CD=

3

4

E
解得：U_CD=

3

4

B0L

2gh

（2）当线框在有界磁场中下降h₀高度时，根据电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可得，
电路中产生的感应电流：I=

(B0+kh0)Lv1

R

线框加速度为零达到最大速度，即：mg=（B₀+kh₀）LI
解得：v₁=

mgR

(B0+kh0)2L2

（3）线框的AB边刚进入磁场时，电路中的感应电流为：
I′=

[(B0+kL)-B0]Lv2

R

根据线框开始做匀速直线运动可得：mg=[（B₀+kL）-B₀]LI′
根据能量守恒定律可得：△E=mg（h+L）-

1

2

m

v

2 2

解得：△E=mg（h+L）-

m3g2R2

2k4L8

答：（1）当CD边刚进入磁场切割磁感线时，CD两点间的电势差大小为

3

4

B0L

2gh

；
（2）当线框在有界磁场中下降h₀高度时速度大小v₁为

mgR

(B0+kh0)2L2

．
（3）线框从开始释放到线框AB边刚进入磁场的过程中产生的电能△E为mg（h+L）-

m3g2R2

2k4L8

．

点评：本题考查了电磁感应与力学和能量的综合，难度中等，电磁感应是高考的重点和热点问题，需加强训练．