Question

13．如图所示，从倾角为θ的斜面上的M点水平抛出一个小球，小球的初速度为v₀，最后小球落在斜面上的N点．重力加速度为g．求：
（1）小球落在N点时的速度方向与水平面的夹角α；
（2）小球落在N点时的速度
（3）M、N两点间的距离．

Answer 1

分析 （1、2）根据竖直位移和水平位移的关系求出小球运动的时间，从而得出落在N点的竖直分速度，结合平行四边形定则求出速度的方向以及在N点的速度大小．
（3）根据初速度和时间求出M、N间的水平距离，结合几何关系求出M、N两点间的距离．

解答 解：（1）根据$tanθ=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$得：t=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$，
则小球落在N点时竖直分速度为：v_y=gt=2v₀tanθ，
根据平行四边形定则知：$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=2tanθ$，
解得：α=arctan2tanθ．
（2）根据平行四边形定则知，小球落在N点的速度为：
$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+4{{v}_{0}}^{2}ta{n}^{2}θ}$=${v}_{0}\sqrt{1+4ta{n}^{2}θ}$．
（3）M、N两点间的水平距离为：
x=${v}_{0}t=\frac{2{{v}_{0}}^{2}tanθ}{g}$，
则M、N间的距离为：
s=$\frac{x}{cosθ}$=$\frac{2{{v}_{0}}^{2}tanθ}{gcosθ}$．
答：（1）小球落在N点时的速度方向与水平面的夹角α为arctan2tanθ；
（2）小球落在N点时的速度为${v}_{0}\sqrt{1+4ta{n}^{2}θ}$；
（3）M、N两点间的距离为$\frac{2{{v}_{0}}^{2}tanθ}{gcosθ}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解，通过位移关系得出运动的时间是解决本题的突破口．