Question

如图所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点与一条水平轨道相连，轨道都是光滑的．轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，场强为E．从水平轨道上的A点由静止释放一质量为m的带正电的小球，为使小球刚好在圆轨道内做圆周运动，已知小球受到的电场力大小等于小球重力的

3

4

倍．试求：
（1）小球在圆周上的最小速度是多少？
（2）在B时小球对轨道的压力是多少？
（3）释放点A距圆轨道最低点B的距离s．

Answer 1

分析：1、带电小球受到重力和电场力作用，重力和电场力都是恒力，故重力和电场力的合力也是恒力，所以在轨道上上升的运动过程中，动能减小，因为小球刚好在圆轨道内做圆周运动，故合力恰好提供向心力时是小球做圆周运动的临界状态，此时小球的速度最小，此时的“最高点”是等效最高点，不是相对于AB轨道的最高点．
2、从B点到最高点，重力做负功，电场力做负功，运动动能定理-mgR(1+cosθ)-EqRsinθ=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 B

，可以计算出B点的速度．再根据合力提供向心力计算在B时小球对轨道的压力．
3、A到B的过程仍然运动动能定理，此过程只有电场力作用Eqs=

1

2

m

v

2 B

，化简可得A到B的距离s．

解答：解：如图，带电小球运动到图中最高点时，重力、电场力的合力提供向心力时，速度最小，因为Eq=

3

4

mg
根据勾股定理合力为：F合=

(mg)2+( 3 4 mg)2

=

5

4

mg
因为小球刚好在圆轨道内做圆周运动，故最高点合力提供向心力，即F合=m

v2

R

解得：v=

5 4 gR

（2）从B点到最高点，由动能定理得：
-mgR(1+cosθ)-EqRsinθ=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 B

其中sinθ=

qE

F合

=

3 4 mg

5 4 mg

=

3

5

，cosθ=

mg

F合

=

mg

5 4 mg

=

4

5

在B点，合力提供向心力，即FN-mg=m

v 2 B

R

解得：FN=

27

4

mg
根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为F=

27

4

mg
（3）从A到B，由动能定理得：Eqs=

1

2

m

v

2 B

解得：s=

23

6

R
答：（1）小球在圆周上的最小速度是

5 4 gR

．
（2）在B时小球对轨道的压力是

27

4

mg．
（3）释放点A距圆轨道最低点B的距离s是

23

6

R．

点评：本题要注意速度最小的位置的最高点不是相对于地面的最高点，而是合力指向圆心，恰好提供向心力的位置，这是解题的关键．