Question

19．如图所示，光滑水平面AB与一半圆形轨道在B点相连，轨道位于竖直面内，其半径为R，一个质量为m的物块静止在水平面上，现向左推物块使其压紧弹簧，然后放手，物块在弹力作用下获得一速度，当它经B点进入半圆轨道瞬间，对轨道的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，重力加速度为g．求：
（1）开始时弹簧所具有的弹性势能；
（2）物块从B到C克服阻力的功
（3）物块离开C点后，再落回到水平面上时速度的大小？

Answer 1

分析 （1）物块在B点做圆周运动，由牛顿第二定律可以求出到达B点时的速度，然后由能量守恒定律可以求出开始时弹簧所具有的弹性势能；
（2）物体恰能通过最高点，故说明此时重力恰好充当向心力，由向心力公式可得出C点的速度；由动能定理可以求出克服摩擦力所做的功．
（3）物体离开C点后做平抛运动，由平抛运动的规律可求得物体落回到水平面上经过的水平距离．

解答 解：（1）物块在B点时做圆周运动，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$…①
由牛顿第三定律得：F=F′=7mg…②
解得：v_B=$\sqrt{6gR}$
弹簧释放过程弹性势能转化为物块的动能，则由能量守恒定律，开始时弹簧所具有的弹性势能为：
E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=3mgR；
（2）物块恰能完成圆运动到达C点，在C点由牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
物块在C点的速度：v_C=$\sqrt{gR}$…③
从B到C过程中，由动能定理得：
 W_f-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²…④
由①②③④解得：W_f=-$\frac{1}{2}$mgR，
则克服摩擦力做功为 $\frac{1}{2}$mgR；
（3）物块离开C点后做平抛运动，
在竖直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt²，t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
落地时竖直分速度为：v_y=gt=2$\sqrt{gR}$
速度大小为：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{5gR}$；
答：（1）开始时弹簧所具有的弹性势能是3mgR；
（2）物块从B到C克服阻力的功为$\frac{1}{2}$mgR；
（3）物块离开C点后，再落回到水平面上时速度的大小为$\sqrt{5gR}$．

点评 本题可分为弹性势能转化为动能、动能转化为重力势能及平抛三个过程，三个过程中机械能均守恒，正确利用好机械能守恒定律即可正确求解．