Question

14．如图所示，一质量M=0.4kg的滑块放在光滑水平面上处于静止状态，滑块左侧为一光滑的$\frac{1}{4}$圆弧，水平面恰好与圆弧相切．质量m=0.1kg的小球（视为质点）以v₀=5m/s的初速度向右运动冲上滑块．取g=10m/s²．若小球刚好没有冲出$\frac{1}{4}$圆弧的上端，求：
（1）小球上升到滑块上端时的速度大小；
（2）$\frac{1}{4}$圆弧的半径；
（3）滑块获得的最大速度．

Answer 1

分析 （1）小球刚好没跃出圆弧的上端，则知小球上升到滑块的上端时，小球与滑块速度相同，结合水平动量守恒求出小球上升到滑块上端时的速度大小．
（2）运用机械能守恒定律列式，可求得圆弧的半径．
（3）小球到达最高点以后又滑回，滑块仍做加速运动，当小球离开滑块时滑块速度最大，根据动量守恒和能量守恒求出滑块的最大速度．

解答 解：（1）当小球上升到滑块上端时，小球与滑块水平方向速度相同，设为v₁，以水平向右为正方向，在水平方向上，由动量守恒定律得：
mv₀=（m+M）v₁
代入数据得：v₁=1m/s
（2）由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+M）v₁²+mgR 
代入数据解得圆弧的半径为：R=1m
（3）小球到达最高点以后又滑回，滑块仍做加速运动，当小球离开滑块时滑块速度最大．研究小球开始冲上滑块一直到离开滑块的整个过程，以水平向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=mv₂+Mv₃
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$Mv₃²
解得：v₃=$\frac{2m{v}_{0}}{m+M}$=$\frac{2×0.1×5}{0.1+0.4}$=2m/s
答：（1）小球上升到滑块上端时的速度大小是1m/s；
（2）$\frac{1}{4}$圆弧的半径是1m；
（3）滑块获得的最大速度是2m/s．

点评 本题的关键是要知道小球刚好没有冲出$\frac{1}{4}$圆弧的上端，两者水平方向上的速度相同，此时滑块的速度不是最大，当小球返回离开滑块时，滑块的速度才最大．