Question

3．已知万有引力常量G，地球半径R，地球自转的周期T，地球表面的重力加速度g，
求（1）地球的第一宇宙速度为v．   
（2）地球同步卫星距地面的高度的h．

Answer 1

分析 第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解；
地球的同步卫星的万有引力提供向心力，可以求出地球同步卫星的高度．

解答 解：（1）第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，
对近地卫星列牛顿第二定律方程有
 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得第一宇宙速度   v₁=$\sqrt{gR}$
（2）对地球的同步卫星的万有引力提供向心力，列牛顿第二定律方程
有$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m（R+h）（$\frac{2π}{T}$）²
式中  GM=gR²
联立解得   h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
答：（1）地球第一宇宙速度v₁的表达式是$\sqrt{gR}$；
（2）若地球自转周期为T，计算地球同步卫星距离地面的高度是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球的同步卫星的万有引力提供向心力．