Question

9．如图所示，质量为m的小环在半径为R的粗糙大圆环上，θ角已知，大圆环在水平面内以匀角速度ω绕其上一点O转动，小环相对大圆环静止．试求：
（1）在水平面内小环所受大圆环的作用力．
（2）如果小环与大圆环间的静摩擦因数为μ，要保持相对静止，小环在大圆环上的位置应在哪一范围内？

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出小圆环做圆周运动的半径，根据合力通过向心力，结合合力的大小以及转动半径的大小求出小环所受大圆环的作用力．
（2）小环与大圆环间的静摩擦因数为μ，小环在大圆环上恰好要滑动时，结合临界条件与牛顿第二定律即可求出位置

解答 解：（1）在以角速度ω匀速转动的坐标系xoy中，小环除重力和与重力平衡的力外，受3个力的作用：大圆环弹力${F}_{N}^{\;}$和静摩擦力${F}_{f}^{\;}$惯性离心力${f}_{惯离}^{\;}$，此3力的合力为零
${F}_{N}^{\;}={f}_{惯离}^{\;}cosφ$，
${F}_{f}^{\;}={f}_{惯离}^{\;}sinφ$
由于φ=$\frac{θ}{2}$，r=2Rcosφ
所以${F}_{N}^{\;}=m{ω}_{\;}^{2}R（1+cosθ）$，${F}_{f}^{\;}=m{ω}_{\;}^{2}Rsinθ$
所以小环所受大圆环的作用力$F=\sqrt{{F}_{N}^{2}+{F}_{f}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}R\sqrt{si{n}_{\;}^{2}θ+（1+cosθ）_{\;}^{2}}$
（2）${F}_{f}^{\;}$的最大值${F}_{fm}^{\;}=μ{F}_{N}^{\;}$，对应的θ最大值为θ′
$m{ω}_{\;}^{2}Rsinθ′=μm{ω}_{\;}^{2}R（1+cosθ′）$
所以θ′=2arctanμ
小环位置在与x轴夹角为+θ′和-θ′之间的范围内
答：（1）在水平面内小环所受大圆环的作用力为$m{ω}_{\;}^{2}R\sqrt{si{n}_{\;}^{2}θ+（1+cosθ）_{\;}^{2}}$．
（2）如果小环与大圆环间的静摩擦因数为μ，要保持相对静止，小环在大圆环上的位置小环位置在与x轴夹角为+θ′和-θ′之间的范围内（其中θ′=2arctanμ）

点评 本题考查了牛顿运动定律和向心力公式等知识点，解决本题的关键是分析小圆环的受力情况，画好受力分析图，有一定难度．