Question

10．如图，两等量异号的点电荷相距为2a．M与两点电荷共线，N位于两点电荷连线的中垂线上，两点电荷连线中点到M和N的距离都为L，且L＞＞a．略去${（\frac{a}{L}）}^{n}$（n≥2）项的贡献，则两点电荷的合电场在M和N点的强度（　　）

• A． 方向相反
• B． 大小之比为2
• C． 大小均与a成正比
• D． 大小均与L的平方成反比

Answer 1

分析 先根据点电荷的场强公式E=$k\frac{q}{{r}_{\;}^{2}}$求解出两电荷单独存在时的场强，再根据平行四边形定则求解出合场强，再运用近似条件比较．

解答 解：如图，根据点电荷的场强公式E=$\frac{kq}{{r}_{\;}^{2}}$，运用平行四边形定则，结合结几何关系，M、N点的场强分别为：
M点的场强为：${E}_{M}^{\;}=k\frac{q}{（L-a）_{\;}^{2}}-k\frac{q}{（L+a）_{\;}^{2}}=\frac{4kLaq}{（L+a）_{\;}^{2}（L-a）_{\;}^{2}}$=$\frac{4kLaq}{（{L}_{\;}^{2}-{a}_{\;}^{2}）_{\;}^{2}}$
因为L＞＞a，$（{L}_{\;}^{2}-{a}_{\;}^{2}）_{\;}^{2}≈{L}_{\;}^{4}$
${E}_{M}^{\;}=\frac{4kLaq}{{L}_{\;}^{4}}=4\frac{kqa}{{L}_{\;}^{3}}$，方向水平向右
N点的场强是-q和+q在N点场强的矢量和为：
${E}_{N}^{\;}={E}_{-q}^{\;}•\frac{a}{\sqrt{{L}_{\;}^{2}+{a}_{\;}^{2}}}+{E}_{+q}^{\;}\frac{a}{\sqrt{{L}_{\;}^{2}+{a}_{\;}^{2}}}$=$k\frac{2q}{{（L}_{\;}^{2}+{a}_{\;}^{2}）_{\;}^{\frac{3}{2}}}$$≈2\frac{kqa}{{L}_{\;}^{3}}$，方向水平向左
A、M点合场强水平向右，N点合场强水平向左，方向相反，故A正确；
B、由上知$\frac{{E}_{M}^{\;}}{{E}_{N}^{\;}}=\frac{2}{1}$，故B正确；
C、由上述知，${E}_{M}^{\;}、{E}_{N}^{\;}$与a成正比，故C错误；
D、由上述知，${E}_{M}^{\;}、{E}_{N}^{\;}$与${L}_{\;}^{3}$成反比，故D错误；
故选：AB

点评 本题关键通过矢量合成求出M与N两点的场强的一般表达式进行讨论，要知道空间任意一点的场强是各个电荷产生的电场的叠加．