Question

6．如图所示，质量均为m的小滑块A、B、C厚度均不计．其中B、C两滑块通过劲度系数为k的轻弹簧相连并竖直放置在水平面上．现在将小滑块A从距离B滑块H₀高处由静止释放，A、B相碰后立刻粘合为一个整体，且以共同速度向下运动，不计空气阻力，当地重力加速度为g．求：
（1）A、B碰后的共同速度v₁的大小；
（2）A、B向下运动的速度最大时，滑块C对水平面的压力大小；
（3）若要A、B碰后滑块C能够离开地面，则A至少应从距B滑块多高的地方由静止释放？

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律求出A与B碰前瞬间的速度，再由动量守恒定律求出A、B碰后的共同速度．
（2）A、B向下运动的速度最大时合力为零，由平衡条件求出弹簧的弹力，再求滑块C对水平面的压力大小．
（3）滑块C恰好能够离开地面时对地压力为零，分段由机械能守恒定律、动量守恒定律列式，可求出A的下落高度．

解答 解：（1）设A、B碰撞之前的瞬时速度为v₀，由机械能守恒定律有：
   mgH₀=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  …①
A、B碰撞前后瞬间动量守恒，取竖直向下为正方向，即有：
  mv₀=2mv₁  …②
由①、②解得A、B碰后的共同速度v₁的大小为：v₁=$\sqrt{\frac{g{H}_{0}}{2}}$
（2）当A、B的速度最大时，它们所受的合力为零，即处于平衡状态．对于A、B、C系统，由平衡条件有：
   N′-3mg=0  …③
由牛顿第三定律：N′=N  …④
由③、④解得A、B向下运动达到最大速度时，滑块C对水平面的压力N的大小为：N=3mg
（3）设将A从距离B滑块H高处由静止释放，则：
  mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$  …⑤
A、B碰撞之前，设弹簧的压缩量为x₁，对滑块B，则有：
   kx₁-mg=0    …⑥
即：x₁=$\frac{mg}{k}$
A、B碰撞前后瞬间动量守恒，即：
   mv₀=2mv₁′…⑦
A、B碰撞之后，要使滑块C能够离开地面，则对滑块C应该满足：
  kx₂-mg=0    …⑧
亦即弹簧伸长量：x₂=$\frac{mg}{k}$
有上述计算可见，A、B碰撞之后瞬间和滑块C将离开地面瞬间，弹簧的形变量相同，即：弹性势能相同，故从碰后到A、B升高到C即将离开地面的过程中，弹力所做的功为零．此过程中只有重力对A、B做功．由动能定理：
-2mg（x₁+x₂）=0-$\frac{1}{2}×2m{v}_{1}^{′2}$   …⑨
由⑤、⑥、⑦、⑧、⑨解得，H=$\frac{8mg}{k}$，即：要A、B碰后滑块C能够离开地面，则A应该从距离B滑块至少$\frac{8mg}{k}$高的地方由静止释放．
答：（1）A、B碰后的共同速度v₁的大小为$\sqrt{\frac{g{H}_{0}}{2}}$；
（2）A、B向下运动的速度最大时，滑块C对水平面的压力大小为3mg；
（3）若要A、B碰后滑块C能够离开地面，则A应该从距离B滑块至少$\frac{8mg}{k}$高的地方由静止释放．

点评 解决本题的关键是分析清楚物体的运动过程，把握每个过程的物理规律，应用机械能守恒定律、动量守恒定律和平衡条件即可正确解题．