Question

2．如图，光滑绝缘的水平面上一个倒放的“曰”字型导线框，四周abfe为正方形，每边长度为l，中间的导线cd距离右侧边ab的距离为$\frac{2}{3}$l．上下横边ae、bf不计电阻，每条竖直边ab、cd、ef的电阻都是R．虚线右侧存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场边界与导线框的竖边平行．现在让导线框以速度v₀匀速垂直进入磁场区域．忽略一切阻力．试分析：

（1）导线框匀速进入磁场过程中所需外力的情况，并计算所需外力的大小和方向；
（2）线框匀速进入过程中电路中产生的焦耳热Q
（3）分析、计算线框匀速进入磁场过程中ef边消耗的电功率多大．

Answer 1

分析 （1）根据切割产生的感应电动势公式求出电动势的大小，结合串并联电路的特点求出总电阻，结合欧姆定律以及安培力公式求出外力F的大小．
（2）线框进入磁场过程中，外力克服安培力做的功大小等于线框中产生的焦耳热，根据能量守恒定律求出电路中产生的焦耳热．
（3）根据电流的大小，结合功率公式求出线框匀速进入磁场过程中ef边消耗的电功率．

解答 解：（1）ab边切割磁感线时：E=BLv₀，…①
电路总电阻为：R_总=$\frac{3R}{2}$．
总电流为：I_ab=$\frac{E}{{R}_{总}}$…②
ab边受到安培力大小：${F_安}=BIl=\frac{{2{B^2}{l^2}{v_0}}}{3R}$…③，方向向左
匀速运动，外力与安培力等大反向：${F_外}=\frac{{2{B^2}{l^2}{v_0}}}{3R}$，…④，方向向右
ab、cd两个边都进入磁场时，同时产生电动势，并联的电动势仍为E，电源内阻变为$\frac{R}{2}$，外电阻变为R…⑤
根据①②式导线框中的总电流强度不变．ab、cd两边中电流强度分别为：$I'=\frac{I}{2}$=$\frac{{Bl{v_0}}}{3R}$…⑥
ab、cd边受到安培力大小相等，总值：${F'_安}=2BI'l=2B\frac{I}{2}l=\frac{{2{B^2}{l^2}{v_0}}}{3R}$…⑦，方向向左
根据④式可知，${F'_外}=\frac{{2{B^2}{l^2}{v_0}}}{3R}$，…⑧，方向向右
（2）线框进入磁场过程中，外力克服安培力做的功大小等于线框中产生的焦耳热：$Q={F_外}\frac{2l}{3}+{F'_外}\frac{l}{3}$=$\frac{{2{B^2}{l^3}{v_0}}}{3R}$…⑨
（3）只有ab边进入时，根据①②式，ef边中电流强度：${I_1}=\frac{I}{2}$=$\frac{{Bl{v_0}}}{3R}$…⑩
ef边消耗电功率：${p_1}=I_1^2•R$=$\frac{{{B^2}{l^2}v_0^2}}{9R}$，
ab、cd两个边都进入磁场时，根据①②式，ef边中电流强度为I₂=I．
ef边消耗电功率：${p_2}=I_{\;}^2•R$=$\frac{{4{B^2}{l^2}v_0^2}}{9R}$．
答：（1）ab边切割时，以及ab、cd边切割时，所需外力的大小均为$\frac{2{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{3R}$，方向向右．
（2）线框匀速进入过程中电路中产生的焦耳热为$\frac{{2{B^2}{l^3}{v_0}}}{3R}$．
（3）ab边切割时，ef边消耗的电功率为$\frac{{{B^2}{l^2}v_0^2}}{9R}$，ab、cd边都切割时，ef边消耗的电功率为$\frac{{4{B^2}{l^2}v_0^2}}{9R}$．

点评 本题考查了电磁感应与电路、力学和能量的综合运用，知道外力克服安培力做功等于线框产生的焦耳热，求解外力和消耗的功率时，需分情况讨论，即ab边切割，以及ab、cd边切割．