Question

如图所示，倾角为θ=30°的斜面固定于水平地面上，在斜面底端O处固定有一轻弹簧，斜面顶端足够高。斜面上OM段光滑，M点的以上均粗糙。质量为m的物块A在M点恰好能静止，在离M点的距离为L的N点处，有一质量为2m的光滑物块B以速度v₀=滑向物块A，若物块间每次碰撞(碰撞时间极短)后即紧靠在一起但不粘连，物块间、物块和弹簧间的碰撞均为正碰。求：

(1)物块A在M点上方时，离M点的最大距离s；

(2)系统产生的总内能E。

Answer 1

(1)L      (2)3 mgL

解析：(1)设物块B第一次和物块A碰前的速度为v₁,碰后的共同速度为v₂。物块B从N动到M点由动能定理有：2mgLsinθ=×-×                             ①

对物块B和物块A，在碰撞过程由动量守恒有：

2mv₁=(2m+m)v₂                                                               ②

物块A、B从第一次在M点相碰后至再次回到M点的过程中机械能守恒，两物块速度大小不变，方向反向，其后物块A、B将作匀减速运动，设加速度分别设为a₁、a₂。由牛顿第二定律有，对A:μmgcosθ+mgsinθ=ma₁

对B：2mgsinθ=2ma₂又由题意中“物块A恰好静止”可得：μmgcosθ=mgsinθ            ③

得：a₁＞a₂

所以当A运动到最高处静止时，物块B还在向上减速运动，未与A相碰。

对A从M到最高处由动能定理有：

(-μmgcosθ-mgsinθ)s=0-×                                                 ④

由①②③④式得：s=2L/3

(2)物块A、B最终紧靠一起在OM间作往复运动，从物块B开始运动至A、B一起运动到M点且速度为零的过程中，由能量转化和守恒定律有：

E=2mgLsinθ+×

所以系统产生的总内能E=3mgL