Question

4．如图所示，物块A的质量为M，物块B、C的质量都是m，均可看作质点，且m＜M＜2m．三物块用轻绳通过滑轮连接．一轻弹簧下端固定在地面上，其上端与物块A相连，劲度系数为k，物块B与物块C的距离和物块C到地面的距离都是L．设物块A距滑轮足够远，不计一切摩擦阻力，开始时系统处于静止状态．求：
（1）弹簧的形变量；
（2）若将轻弹簧剪断，物块A上升时的最大速度；
（3）将轻弹簧剪断后，物块A上升的最大高度（物块着地不反弹）．

Answer 1

分析 （1）受力分析结合胡克定律求解形变量；
（2）A、B、C三物体系统机械能守恒．B、C下降L，A上升L时，A的速度达到最大，根据机械能列式求解；
（3）当C着地后，A、B二物体系统机械能守恒．B恰能着地，即B物体下降L时速度为零．
MgL-mgL=$\frac{1}{2}$（M+m）v_m²解得M，分析m大小与M关系从而根据能量守恒求物块A上升的最大高度．

解答 解：（1）对A：F=2mg-Mg…．①
   根据胡克定律知：F=kx…．②
由①②解得 x=$\frac{2mg-Mg}{k}$．
（2）A、B、C三物体系统机械能守恒．B、C下降L，A上升L时，A的速度达到最大．
2mgL-MgL=$\frac{1}{2}$（M+2m）v_m²…．③
由③解得v_m=$\sqrt{\frac{2（2m-M）gL}{2m+M}}$…④
（3）当C着地后，A、B二物体系统机械能守恒．B恰能着地，即B物体下降L时速度为零．
MgL-mgL=$\frac{1}{2}$（M+m）v_m²…．⑤
由④⑤解得：M=$\sqrt{2}$m…．
①若$\sqrt{2}$m＜M＜2m，B物体将不会着地．
Mgh-mgh=$\frac{1}{2}$（M+m） v_m²…．⑥
h=$\frac{（M+m）{{v}_{m}}^{2}}{2（M-m）g}$
H₁=L+h=$\frac{2MmL}{（2m+M）（M-m）}$⑦
②若M=$\sqrt{2}$m，B恰能着地，A物体再上升的高度等于L．
H₂=2L
③若m＜M＜$\sqrt{2}$m，B物体着地后，A还会上升一段．设B落地的速度v
MgL-mgL=$\frac{1}{2}$（M+m）（v_m²-v²） …．⑧
△h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$…．⑨
H₃=2L+△h ⑩
由⑧⑨⑩得  H₃=2L+$\frac{2（2{m}^{2}-{M}^{2}）L}{（m+M）（2m+M）}$
答：（1）弹簧的形变量为$\frac{2mg-Mg}{k}$；
（2）若将轻弹簧剪断，物块A上升时的最大速度为$\sqrt{\frac{2（2m-M）gL}{2m+M}}$；
（3）将轻弹簧剪断后，物块A上升的最大高度为2L+$\frac{2（2{m}^{2}-{M}^{2}）L}{（m+M）（2m+M）}$．

点评 该题是一道综合题，综合运用了机械能守恒定律以及功能关系，解决本题的关键熟练这些定理、定律的运用，注意分析质量关系即可．