Question

13．如图所示，是某次发射人造卫星的示意图，人造卫星先在半径为r的近地圆周轨道1上运动，然后改在椭圆轨道2上运动，最后在半径为7r的圆周轨道3上运动，a点是轨道1、2的交点，b点是轨道2、3的交点，人造卫星在轨道1上a点的速度为v_1a，在轨道2上a点的速度为v_2a，在轨道2上b点的速度为v_2b，在轨道3上b点的速度为v_3b，已知卫星在圆轨道运行时的引力势能为E_p=-$\frac{GMm}{r}$选择无穷远处为势能零点，r是卫星与中心天体的球心距，下列说法正确的是（　　）

• A． 轨道1、2、3的周期之比为7$\sqrt{7}$：8：1
• B． v_2a＞v_1a＞v_2b＞v_3b
• C． v_2a＞v_1a＞v_3b＞v_2b
• D． 圆周轨道1和3上运行时，卫星和地球系统的机械能之比为1：14

Answer 1

分析 根据卫星的速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$比较人造卫星在轨道1上的速度v_1a与在轨道3上的速度v_3b的大小．根据开普勒定律判断在轨道2上a点的速度为v_2a和v_2b的大小．卫星从轨道1上a处加速变轨到轨道2，从轨道2上b处加速变轨到轨道3．将四个速度两两比较，进行选择．

解答 解：A、根据万有引力提供向心力得T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
轨道3的周期最大，则所给比式不对，故A错误；
B、C、卫星在轨道1和轨道3上做匀速圆周运动，根据卫星的速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$分析可知，
轨道半径越小，卫星的速度越大，则有v_1a＞v_3b．
卫星在轨道2上做椭圆运动，根据开普勒第二定律得知，v_2a＞v_2b．
卫星从轨道1变轨到轨道2，在a点加速，则有v_2a＞v_1a．
卫星从轨道2变轨到轨道3，在b点加速，则有v_3b＞v_2b．
所以v_2a＞v_1a＞v_3b＞v_2b． 则B错误，C正确；
D、1轨道上的机械能为：E=$\frac{1}{2}$m${（\sqrt{\frac{GM}{r}}）}^{2}$+$\frac{GMm}{r}$，
3轨道上的机械能为：E′=$\frac{1}{2}$m${（\sqrt{\frac{GM}{7r}}）}^{2}$+$\frac{GMm}{7r}$，则两者之比为7：1，故D错误；
故选：C

点评 本题是卫星问题，除了运用卫星的速度公式判断卫星做圆周运动的速度大小外，难点在于要了解卫星如何变轨的．