Question

9．我国将于2022 年举办冬季奥运会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．当滑雪板相对雪地速度较小时，滑雪板与雪地间的摩擦力较大，当滑雪板相对雪地速度较大时，滑雪板会把雪内的空气逼出来，在滑雪板与雪地间形成一个暂时的“气垫”，从而大大减小雪地对滑雪板的摩擦．假设滑雪者的速度超过4m/s 时，滑雪板与雪地间的动摩擦因数就会由μ₁=0.25 变为μ₂=0.125．如图所示，一运动员从倾角θ=37°的长直助滑道AB 的A 处由静止开始自由下滑，滑至末端B 后沿切线进入一半径为R=21m 的竖直光滑圆弧轨道BC，并从最低点C 沿水平方向飞出，最后落在水平地面上的D 点．不计空气阻力，AB 长度s=40.4m，C 与D 点的高度差h=3.2m，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）运动员到达B 时的速率；
（2）D 点与C 点的水平距离．

Answer 1

分析 （1）分别求得运动员速度在4m/s前后的合外力，进而由牛顿第二定律求得加速度，然后根据匀变速规律通过总位移为s求得末速度；
（2）通过BC段运动机械能守恒求得在C点的速度，然后根据平抛运动的位移公式求解水平位移．

解答 解：（1）运动员在速度v＜4m/s时合外力F₁=mgsinθ-μ₁mgcosθ，故加速度${a}_{1}=\frac{{F}_{1}}{m}=gsinθ-{μ}_{1}gcosθ=4m/{s}^{2}$；
所以，运动员下滑${t}_{1}=\frac{4m/s}{{a}_{1}}=1s$，位移${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=2m$后达到v₀=4m/s；
之后，运动员的合外力F₂=mgsinθ-μ₂mgcosθ，故加速度${a}_{2}=\frac{{F}_{2}}{m}=gsinθ-{μ}_{2}gcosθ=5m/{s}^{2}$；
故由匀变速运动规律可得：$s-{s}_{1}={v}_{0}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$，所以，t₂=3.2s，那么，运动员到达B 时的速率v_B=v₀+a₂t₂=20m/s；
（2）运动员在BC上运动只有重力做功，故机械能守恒，则有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}+mgR（1-cosθ）$，所以，${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{B}}^{2}+2gR（1-cosθ）}=22m/s$；
那么，运动员从C到D做平抛运动，设D 点与C 点的水平距离为x，故有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$x={v}_{C}t={v}_{C}\sqrt{\frac{2h}{g}}=17.6m$；
答：（1）运动员到达B 时的速率为20m/s；
（2）D 点与C 点的水平距离为17.6m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．