Question

3．如图所示，M、N是两块面积很大、相互平行而又相距较近的带电金属板，两板之间的距离为d，两板间的电势差为U．同时，在这两板间还有一方向与电场正交而垂直于纸面向里的匀强磁场．一质量为m、带电量为q的粒子通过M板中的小孔沿垂直于金属板的方向射入，粒子在金属板中运动时恰好不碰到N板，其运动轨迹如图所示，图中P点是粒子运动轨迹与N板的相切点．以小孔处为坐标原点O、粒子射入方向为z轴正方向、沿M板向上为y轴正方向，不计粒子所受重力及从小孔中射入时的初速度．求：
（1）粒子经过P点时的速率；
（2）若已知粒子经过P点时的加速度大小为a，则粒子经过P点时所受的磁场力为多大？
（3）推导磁感应强度B与m、q、d、U之间的关系式．

Answer 1

分析 （1）洛伦兹力不做功，只有电场力做功，由动能定理可以求出粒子的速率．
（2）已知粒子的加速度，应用牛顿第二定律可以求出粒子所受磁场力（洛伦兹力）大小．
（3）可将粒子的运动分解为沿x方向与y方向的运动，应用牛顿第二定律、运动学公式可以求出B与m、q、d、U间的关系．

解答 解：（1）粒子从O到P过程，由动能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）在P点，由牛顿第二定律得：F-q$\frac{U}{d}$=ma，解得：F=ma+$\frac{qU}{d}$；
（3）设粒子到达P点前任意位置时速度的x分量为：v_x，则：F_y=qv_xB，
由牛顿第二定律得：F_y=qv_xB=ma_y，则：qv_xB△t=ma_y△t，qv_xB△t=m△v_y，
qB∑v_x△t=m∑△v_y，当∑v_x△t=d时，∑v_y=v，即：v=$\frac{qBd}{m}$，将其代入：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$得：B=$\frac{\sqrt{2qmU}}{qd}$；
答：（1）粒子经过P点时的速率为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）若已知粒子经过P点时的加速度大小为a，则粒子经过P点时所受的磁场力为：ma+$\frac{qU}{d}$；
（3）磁感应强度B与m、q、d、U之间的关系式为：B=$\frac{\sqrt{2qmU}}{qd}$．

点评 本题考查了粒子在电磁场中的运动，粒子运动过程复杂，本题难度较大，分析清楚粒子运动过程、应用运动的合成与分解是解题的关键；应用动能定理、牛顿第二定律等知识点即可解题．