题目内容

2．如图所示，在xOy坐标平面内，第一象限有沿y轴负方向的匀强电场，第四象限有垂直平面向里的匀强磁场；电场和磁场的左边界为y轴，右边界为x=3L的虚线，x轴是它们的分界线．在x轴上方第二象限内紧靠y轴放有一平行板电容器，左、右两极间所加电压为U．一静止于左板内侧A处的正离子，经加速电场直线加速后，从右板上的小孔射出，经y轴上O′点以平行x轴方向射入电场，离子在电场和磁场中运动，其中在磁场中做圆周运动的半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，最后恰从x轴上的P点射出场区而进入第一象限，射出时的速度方向与x轴正向的夹角为45°．已知离子的质量为m、电荷量为q，离子重力不计．试求：
（l）离子经过P点时的速度大小；
（2）O′点的纵坐标值；
（3）磁场的磁感应强度B和偏转电场的场强E．

分析 （1）根据粒子的出射速度方向及半径求得粒子在磁场中运动的弦长，再由粒子在恒力作用下的匀变速运动规律求得粒子进入磁场时的速度方向，进而求得经过P点时的速度；
（2）由粒子进入磁场时的速度及位置，根据类平抛运动规律取得竖直位移，即O′点的纵坐标值；
（3）由粒子在磁场运动的速度及半径求得磁感应强度，根据类平抛运动规律取得电场场强．

解答 解：（1）粒子进入磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，
由图所示几何关系可知，粒子在磁场中运动的弦长为L，
，
又有，粒子在电场中运动时，只受电场力的作用，则粒子在水平方向上的速度不变，在竖直方向上，由匀变速运动规律可知，粒子在相同位置速率大小相同，
则若粒子经过磁场后进入电场，在进入磁场时运动状态与第一次进入磁场相同．
由粒子运动的弦长为L可得粒子进入磁场的次数n可取1，2．
由前面分析可知，粒子进入磁场时速度方向与x轴正方向成45°，
粒子经过加速电场得到速度v0，有$qU=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，所以，${v}_{0}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，
粒子经过偏转电场时，水平分速度不变，只有竖直方向的分速度改变，所以，粒子进入磁场的速度$v=\frac{{v}_{0}}{cos45°}=\sqrt{2}{v}_{0}=2\sqrt{\frac{qU}{m}}$；
粒子在磁场中做匀速圆周运动，速率不变，所以，粒子经过P点时的速度大小为$2\sqrt{\frac{qU}{m}}$；
（2）设O’点的纵坐标为y，则粒子在电场中第一次做类平抛运动过程，进入磁场时速度的竖直分量vy=v0tan45°=v0；
则类平抛运动沿x轴方向的位移x1=2y；
离子再次回到电场中的运动为类平抛的逆运动，根据对称性可得：（2n-1）x1+nL=3L，
所以，$y=\frac{1}{2}{x}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{（3-n）L}{2n-1}=\frac{（3-n）L}{2（2n-1）}$，
当n=1时，y=L；当n=2时，$y=\frac{1}{6}L$；
（3）由粒子在磁场中只受洛伦兹力，做匀速圆周运动可知，$Bvq=m\frac{{v}^{2}}{R}$；
所以，$B=\frac{mv}{qR}=\frac{m×2\sqrt{\frac{qU}{m}}}{q×\frac{\sqrt{2}}{2}L}=\frac{2}{L}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
粒子在偏转电场中做类平抛运动，加速度$a=\frac{qE}{m}$，运动时间$t=\frac{2y}{{v}_{0}}$，
所以有$y=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×（\frac{2y}{{v}_{0}}）^{2}$，所以，$E=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qy}=\frac{m×\frac{2qU}{m}}{2qy}=\frac{U}{y}$；
所以，当n=1时，y=L，$E=\frac{U}{L}$；当n=2时，$y=\frac{1}{6}L$，$E=\frac{6U}{L}$；
答：（l）粒子经过P点时的速度大小为$2\sqrt{\frac{qU}{m}}$；
（2）当粒子只进入磁场一次时，O′点的纵坐标值为L；当粒子进入磁场两次时，O′点的纵坐标值为$\frac{1}{6}L$；
（3）磁场的磁感应强度B为$\frac{2}{L}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；当粒子只进入磁场一次时，偏转电场的场强E为$\frac{U}{L}$；当粒子进入磁场两次时，偏转电场的场强E为$\frac{6U}{L}$．

点评 求解粒子在磁场中的运动问题常用到几何关系来判断粒子的运动，如本题中，需要根据粒子在磁场中那个运动的弦长即有场范围来判断粒子的运动形式．

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