Question

5．如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连．小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道．小球由静止从A点释放，已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与斜轨AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0，5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为1.8R．求：
（1）小球滑到斜面底端C时速度的大小．
（2）小球刚到C时对轨道的作用力．
（3）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R’应该满足什么条件？若R′=2.5R，小球最后所停位置距D（或E）多远？
注：在运算中，根号中的数值无需算出．

Answer 1

分析 （1）对球从A运动至C过程运用动能定理列式求解即可；
（2）在C点，重力和支持力的合力提供向心力；根据牛顿第二定律列式求解支持力；然后再结合牛顿第三定律求解压力；
（3）要使小球不脱离轨道，有两种情况：情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．情况二：小球上滑至四分之一圆轨道的点（设为Q）时，速度减为零，然后滑回D．由动能定理列出等式求解．

解答 解：（1）设小球到达C点时速度为v，a球从A运动至C过程，由动能定理有
mg（5Rsin37°+1.8R）-μmgcos37°•5R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得   ${v_c}=\sqrt{5.6gR}$
（2）小球沿BC轨道做圆周运动，设在C点时轨道对球的作用力为N，由牛顿第二定律得
 $N-mg=m\frac{v_c^2}{r}$，其中r满足   r+r•sin53°=1.8R 
联立上式可得：N=6.6mg          
由牛顿第三定律可得，球对轨道的作用力为6.6mg，方向竖直向下． 
（3）要使小球不脱离轨道，有两种情况：
情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．则小球b在最高点P应满足$m\frac{{{v_P}^2}}{R^'}≥mg$
小球从C直到P点过程，由动能定理，有$-μmgR-mg•2{R^'}=\frac{1}{2}m{v_P}^2-\frac{1}{2}m{v_c}^2$
可得    ${R^'}≤\frac{23}{25}R=0.92R$
情况二：小球上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．则由动能定理有$-μmgR-mg•{R^'}=0-\frac{1}{2}m{v_c}^2$，R′≥2.3R
若R′=2.5R，由上面分析可知，小球必定滑回D，设其能向左滑过DC轨道，并沿CB运动到达B点，在B点的速度为v_B，则由能量守恒定律有  $\frac{1}{2}mv_c^2=\frac{1}{2}m{v_B}^2+mg•1.8R+2μmgR$
由⑤⑨式，可得     v_B=0
故知，小球不能滑回倾斜轨道AB，小球将在两圆轨道之间做往返运动，小球将停在CD轨道上的某处．设小球在CD轨道上运动的总路程为S，则由能量守恒定律，有$\frac{1}{2}mv_c^2=μmgS$
由⑤⑩两式，可得   S=5.6R                   
所以知，b球将停在D点左侧，距D点0.6R处．      
答：
（1）小球滑到斜面底端C时速度的大小为$\sqrt{5.6gR}$；
（2）小球对刚到C时对轨道的作用力为6.6mg；
（3）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足：R′≤0.92R或R′≥2.3R；若R′=2.5R，小球最后所停位置距D点0.6R处．

点评 此题要求正确分析小球的运动状态和运动过程，熟练掌握动能定理、能量守恒定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度较大，属于难题．