Question

14．在倾角为θ的固定光滑绝缘斜面上，由一劲度系数为k的长绝缘轻质弹簧，其下端固定于斜面底端，上端与一质量为m，带正电的小球A相连，整个空间存在一平行于斜面向上的匀强电场，小球A静止时弹簧恰为原长．另一质量也为m的不带电的绝缘小球B从斜面上的P点由静止开始下滑，与A发生碰撞后一起沿斜面向下运动，碰撞时间极短，且不粘连．在以后的运动过程中，A与B在所能到达的最高点恰未分开．全过程中小球A的电量不发生变化，弹簧形变始终在弹性限度内，重力加速度为g．求：
（1）A、B运动到最高点时弹簧的形变量；
（2）A、B运动过程中的最大速度；
（3）若B与A碰撞过程中系统损失的机械能为△E，求两小球运动最低点与点P的距离．

Answer 1

分析 （1）由共点力的平衡条件求出电场力的大小；然后由物体分离的条件，结合对B的受力分析和B的加速度，求出A物体受到的合外力的大小，最后结合对A的受力分析即可求出最高点的位置与弹簧的形变量；
（2）A、B一起运动过程中合外力为零时，具有最大速度v_m，该过程中重力做正功而电场力做负功，由功能关系即可求出最大速度；
（3）B球下降的过程中机械能守恒，即可求出B与A碰撞前的速度；由于碰撞的时间短，碰撞可以近似看做是动量守恒，则可以求出碰撞后的速度；碰撞后两球没有分离，则一起做简谐振动，由简谐运动特点可知，两球平衡位置在速度最大处，最高点与最低点到平衡位置的距离相等，因此即可求出两小球运动最低点与点P的距离．

解答 解：（1）开始时 小球A静止时弹簧恰为原长，则电场力的大小与重力沿斜面向下的分力相等，得：
qE=mgsinθ
由题意，A与B在所能到达的最高点恰未分开，说明二者的速度恰好都为0时，二者之间的相互作用力为0，加速度的大小也相等．
由于B只受到重力和支持力的作用，所以合外力：F_B=mgsinθ
B的加速度：${a}_{B}=\frac{mgsinθ}{m}=gsinθ$
A受到重力、支持力、弹簧的弹力以及电场力的作用，沿斜面向下的方向：kx₁+mgsinθ-qE=ma
联立以上公式，解得：${x}_{1}=\frac{mgsinθ}{k}$
（2）A、B一起运动过程中合外力为零时，具有最大速度v_m，设此时弹簧的压缩量为x₂，则：2mgsinθ-qE-kx₂=0 得x₂=$\frac{mgsinθ}{k}$
由于x₂=x₁，说明A速度最大的位置与两个 小球在最高点的弹性势能相等，对此过程由功能关系：（2mgsinθ-qE）（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}•$2mv_m²
得v_m=gsinθ$\sqrt{\frac{2m}{k}}$
（3）设A、B初始距离为l₀，在与A碰撞前B的速度为v₀，由机械能守恒定律得：
mgl₀sinθ=$\frac{1}{2}$mv₀²
得v₀=$\sqrt{2g{l}_{0}sinθ}$  
B与A碰撞后共同速度为v₁，选取沿斜面向下为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=2mv₁；
则：${v}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{0}=\sqrt{\frac{g{l}_{0}sinθ}{2}}$
B与A碰撞过程中损失的机械能为△E=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}•$2mv₁²=$\frac{1}{2}$mgl₀sinθ
由简谐运动特点可知，两球平衡位置在速度最大处，即运动最高点和平衡位置的距离：A=x₁+x₂=$\frac{2mgsinθ}{k}$
则最低点到P的距离为d=l₀+x₁+A=$\frac{2△E}{mgsinθ}+\frac{3mgsinθ}{k}$
答：（1）A、B运动到最高点时弹簧的形变量是$\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）A、B运动过程中的最大速度是$gsinθ\sqrt{\frac{2m}{k}}$；
（3）若B与A碰撞过程中系统损失的机械能为△E，两小球运动最低点与点P的距离是$\frac{2△E}{mgsinθ}+\frac{3mgsinθ}{k}$．

点评 解决本题的关键知道滑块的运动是向下先做加速度减小的加速运动，然后做加速度增大的减速运动，到达最低点时，速度为0．知道在最低点时弹簧的弹性势能最大．在整个过程中，有动能、重力势能、弹性势能、电势能发生相互转化，当电势能减小最多时，系统的机械能最大．