题目内容
19．如图a所示，匀强磁场垂直于xOy平面，磁感应强度B1按图b所示规律变化（垂直于纸面向外为正）．t=0时，一比荷为$\frac{q}{m}$=1×105C/kg的带正电粒子从原点沿y轴正方向射入，速度大小v=3×104m/s，不计粒子重力．（1）求带电粒子在匀强磁场中运动的轨道半径．
（2）求t=$\frac{π}{2}$×10-4s时带电粒子的坐标．
（3）保持b中磁场不变，再加一垂直于xOy平面向外的恒定匀强磁场B2，其磁感应强度为0.3T，在t=0时，粒子仍以原来的速度从原点射入，求粒子回到坐标原点的时刻．
分析 （1）根据洛伦兹力提供向心力列方程即可求出带电粒子在匀强磁场中运动的轨道半径；
（2）先求出带电粒子在磁场中运动的周期，再分别求出在0～$\frac{π}{4}$×10-4s和$\frac{π}{4}$×10-4s～$\frac{π}{2}$×10-4s过程中，粒子运动了的周期和圆弧对应的圆心角，画出粒子的运动轨迹图，利用几何关系求出带电粒子的坐标；
（3）画出施加B2=0.3T的匀强磁场与原磁场叠加后规律变化图，分别求出当nT≤t≤nT+$\frac{T}{2}$和nT+$\frac{T}{2}$≤t≤（n+1）T（n=0，1，2，…）时粒子运动了的周期，画出粒子运动轨迹图即可求出粒子回到坐标原点的时刻．
解答 解：（1）带电粒子在匀强磁场中运动，洛仑兹力提供向心力，
则有qvB1=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入数据解得：r=$\frac{mv}{q{B}_{1}}$=$\frac{3×1{0}^{4}}{1×1{0}^{5}×0.5}$m=0.6m．
（2）带电粒子在磁场中运动的周期：
T0=$\frac{2πm}{{B}_{1}q}$=$\frac{2π}{5}$×10-4s，
在0～$\frac{π}{4}$×10-4s过程中，粒子运动了$\frac{5{T}_{0}}{8}$，
圆弧对应的圆心角：θ1=$\frac{5π}{4}$，
在$\frac{π}{4}$×10-4s～$\frac{π}{2}$×10-4s过程中，粒子又运动了$\frac{5{T}_{0}}{8}$，
圆弧对应的圆心角：θ2=$\frac{5π}{4}$，
轨迹如图a所示，根据几何关系可知，
横坐标：x=2r+2rsin$\frac{π}{4}$=$\frac{3}{5}$（2+$\sqrt{2}$）m，
纵坐标：y=-2rcos$\frac{π}{4}$=-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$m，
故带电粒子的坐标为[$\frac{3}{5}$（2+$\sqrt{2}$）m，-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$m]．
（3）施加B2=0.3T的匀强磁场与原磁场叠加后，如图b所示，
①当nT≤t≤nT+$\frac{T}{2}$（n=0，1，2，…）时，
T1=$\frac{2πm}{q（{B}_{1}+{B}_{2}）}$=$\frac{π}{4}$×10-4s，
②当nT+$\frac{T}{2}$≤t≤（n+1）T（n=0，1，2，…）时，
T2=$\frac{2πm}{q（{B}_{1}-{B}_{2}）}$=π×10-4s，
粒子运动轨迹如图c所示，
则粒子回到原点的时刻为：
t1=（$\frac{π}{4}$+2nπ）×10-4s，
t2=2（n+1）π×10-4s （n=0，1，2，…）．
答：（1）求带电粒子在匀强磁场中运动的轨道半径为0.6m；
（2）t=$\frac{π}{2}$×10-4s时带电粒子的坐标为[$\frac{3}{5}$（2+$\sqrt{2}$）m，-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$m]；
（3）粒子回到坐标原点的时刻为t1=（$\frac{π}{4}$+2nπ）×10-4s，t2=2（n+1）π×10-4s （n=0，1，2，…）．
点评 此题是带电粒子在匀强磁场中的运动问题，解题时要认真分析粒子的运动轨迹，画出粒子的运动轨迹图并结合几何知识进行求解，同时要注意粒子运动的周期性，过程比较复杂，意在考查学生综合分析问题的能力．
如图所示（俯视图），在竖直方向的磁感应强度为B=0.25T的匀强磁场中，金属框架MNPQ（框架电阻忽略不计）固定在水平面内，MN与PQ平行且足够长，MN与PQ相距d=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$m，MP与PQ夹角θ=60°，光滑均匀导体棒EF（垂直于PQ）在外力作用下以垂直于自身的速度v=2m/s向右匀速运动，导体棒在滑动过程中始终保持与框架良好接触，且导体棒每米的电阻为0.4Ω，经过P点瞬间作为计时起点．试求：
如图所示，一个质子以速度v垂直电场方向射入有界匀强电场中，它飞离电场区域时侧向位移为d1，如果改换使α粒子从同一位置以2v速度垂直电场方向射入，则它飞离有界电场时的侧向位移应为（ ）| A． | d2=d1 | B． | d2=$\frac{{d}_{1}}{4}$ | C． | d2=$\frac{{d}_{1}}{8}$ | D． | d2=$\frac{{d}_{1}}{16}$ |
如图所示，固定在水平面上的光滑平行金属导轨，间距为L，右端接有阻值为R的电阻，空间存在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场．质量为m、电阻为r的导体棒ab与固定弹簧相连，放在导轨上．初始时刻，弹簧恰处于自然长度．给导体棒水平向右的初速度v0，导体棒开始沿导轨往复运动，在此过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知导体棒的电阻r与定值电阻R的阻值相等，不计导轨电阻，则下列说法中正确的是（ ）| A． | 导体棒开始运动的初始时刻受到的安培力向左 | |
| B． | 导体棒开始运动的初始时刻导体棒两端的电压U=$\frac{1}{2}$BLv0 | |
| C． | 导体棒开始运动后速度第一次为零时，系统的弹性势能Ep=$\frac{1}{2}$m$v_0^2$ | |
| D． | 从导体棒开始运动到最终位置的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q=$\frac{1}{4}$m$v_0^2$ |
如图甲所示，一足够长阻值不计的光滑平行金属导轨MN、PQ之间的距离L=0.5m，NQ两端连接阻值R=2.0Ω的电阻，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，导轨平面与水平面间的夹角θ=300．一质量m=0.40kg，阻值r=1.0Ω的金属棒垂直于导轨放置并用绝缘细线通过光滑的定滑轮与质量M=0.80kg的重物相连．细线与金属导轨平行．金属棒沿导轨向上滑行的速度v与时间t之间的关系如图乙所示，已知金属棒在0～0.3s内通过的电量是0.3～0.6s内通过电量的$\frac{2}{3}$，g=10m/s2，求：
如图所示，一个粒子质量为m、带电量为+Q，以初速度v0与水平面成45°角射向空间匀强电场区域，粒子恰做直线运动，则这匀强电场的强度最小值为$\frac{\sqrt{2}mg}{2q}$；方向是斜向左上方，与水平方向成45度角．
如图所示，在水平向左的匀强电场中，一个质量为m 带电小球用绝缘轻绳（不伸缩）悬于O点，平衡时小球位于A点，此时绳与竖直方向的夹角θ=53°，绳长为l，B、C、D到O点的距离均为l，BD水平，OC竖直．BO=CO=DO=l．| A． | 这个电容器的电容为10-5 F | |
| B． | 这个电容器加上50 V电势差时，电容才是10 μF | |
| C． | 这个电容器没有电势差时，电容为0 | |
| D． | 这个电容器加的电势差不能低于50 V |