Question

9．已知地球质量为M，万有引力常量为G，地球半径为R，质量为m的人造卫星在距地面高度为h处绕地球做匀速圆周运动，求：
（1）卫星绕地球运行的线速度大小．
（2）卫星绕地球运行的周期．
（3）卫星绕地球运行的角速度．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求卫星运行的线速度
（2）根据圆周运动的周期与线速度关系式求周期
（3）根据角速度与周期关系式求角速度

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+h}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
（2）根据周期公式$T=\frac{2π（R+h）}{v}=2π（R+h）\sqrt{\frac{R+h}{GM}}$
（3）角速度$ω=\frac{2π}{T}=\sqrt{\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{3}}}$
答：（1）卫星绕地球运行的线速度大小$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$．
（2）卫星绕地球运行的周期$2π（R+h）\sqrt{\frac{R+h}{GM}}$．
（3）卫星绕地球运行的角速度$\sqrt{\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{3}}}$．

点评 万有引力问题的入手点：一是星球表面重力万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力