Question

17．如图甲所示，水平面上固定一个倾角为θ的光滑足够长斜面，斜面顶端有一光滑的轻质定滑轮，跨过定滑轮的轻细绳两端分别连接物块A和B（可看作质点），开始A、B离水平地面的高度H=0.5m，A的质量m₀=0.8kg．当B的质量m连续变化时，可以得到A的加速度变化图线如乙图所示，图中虚线为渐近线，设加速度沿斜面向上的方向为正方向，不计空气阻力，重力加速度为g取10m/s²．求：
（1）斜面的倾角θ；
（2）图乙中a₀值；
（3）若m=1.2kg，由静止同时释放A、B后，A上升离水平地面的最大高度（设B着地后不反弹）．

Answer 1

分析 （1）由图乙可知，当m=0.4kg时，二者的加速度是0，将这一数据代入对A与B的受力分析即可求出；
（2）对整体进行受力分析，得出a的表达式，然后看当m无穷大加速度对应的数值；
（3）根据系统机械能守恒求出A物块到达地面时的二者的速度大小．根据A物块到达地面时的速度，结合速度位移公式求出 B继续上升的高度，从而得出B离地面的最大高度．

解答 解：（1）由题当m=0.4kg时，a=0，设绳子的拉力为F，
所以对B：F=mg
对A：m₀gsinθ=F   
代入数据解得  θ=30°
（2）当B物体的质量为任意值m时，对B进行受力分析得：mg-F=ma   
对A进行受力分析得：F-m₀gsinθ=m₀a  
联立得：$a=\frac{m-{m}_{0}sinθ}{m+{m}_{0}}•g$ 
可知当m→∞时，a₀=g 
（3）若m=1.2kg，由静止同时释放A、B后AB的加速度大小：$a=\frac{m-{m}_{0}sinθ}{m+{m}_{0}}•g$ 
B着地时的速度：$v=\sqrt{2aH}$
接着A作匀减速直线运动，到速度为零时到达最高点，
由机械能守恒得上升的高度
$mg{h}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$ 
代入数据得：${h}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2g}=0.2$m 
A距离水平面最大高度h_m=H+Hsin30°+h₁
代入数据得：h_m=0.95m
答：（1）斜面的倾角是30°；
（2）图乙中a₀值是重力加速度g；
（3）若m=1.2kg，由静止同时释放A、B后，A上升离水平地面的最大高度是0.95m．

点评 该题通过斜面模型考查共点力的平衡与牛顿运动定律的综合应用，对物体进行正确的受力分析和运动过程分析是解答的关键．