Question

9．如图所示装置由水平轨道、倾角θ=37°的倾斜轨道连接而成，轨道所在空间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场．质量m、长度L、电阻R的导体棒ab置于倾斜轨道上，刚好不下滑；质量、长度、电阻与棒ab相同的光滑导体棒cd置于水平轨道上，用恒力F拉棒cd，使之在水平轨道上向右运动．棒ab、cd与导轨垂直，且两端与导轨保持良好接触，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，cos37°=0.8．

（1）求棒ab与导轨间的动摩擦因数μ；
（2）求当棒ab刚要向上滑动时cd速度v的大小；
（3）若从cd刚开始运动到ab刚要上滑过程中，cd在水平轨道上移动的距离x，求此过程中ab上产生热量Q．

Answer 1

分析 （1）导体棒ab刚好不下滑时，静摩擦力沿导轨向上达到最大，由平衡条件和摩擦力公式结合求解．
（2）当棒ab刚要向上滑动时静摩擦力沿导轨向上达到最大，由平衡条件和安培力公式可求得此时的感应电流，由法拉第电磁感应定律和欧姆定律结合，吉得到cd棒的速度v的大小．
（3）由能量守恒定律求得ab上产生热量Q．

解答 解：（1）当ab刚好不下滑，静摩擦力沿导轨向上达到最大，由平衡条件得：mgsin37°=μmgcos37° 
则 μ=tan37°=0.75                                         
（2）设ab刚好要上滑时，cd棒的感应电动势为E
由法拉第电磁感应定律有 E=BLv                       
设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有 I=$\frac{E}{2R}$      
设ab所受安培力为F_安，有 F_安=BIL                    
此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有
 F_安cos37°=mgsin37°+μ（mg cos37°+F_安sin37°）       
代入数据解得：F_安=$\frac{{mgsin{{37}°}+μmgcos{{37}°}}}{{cos{{37}°}-μsin{{37}°}}}$=$\frac{24}{7}$mg
又F_安=$\frac{{{B^2}{L^2}v}}{2R}$代入数据解得 v=$\frac{48mgR}{7{B}^{2}{L}^{2}}$
（3）设ab棒的运动过程中电路中产生的总热量为Q_总，
由能量守恒有 F•x-2Q=$\frac{1}{2}$mv²    
解得Q=$\frac{1}{2}$F•x-$\frac{1}{4}$mv²=$\frac{1}{2}$F•x-$\frac{576{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{49{B}^{4}{L}^{4}}$
答：
（1）棒ab与导轨间的动摩擦因数μ是0.75；
（2）当棒ab刚要向上滑动时cd速度v的大小是$\frac{48mgR}{7{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）若从cd刚开始运动到ab刚要上滑过程中，cd在水平轨道上移动的距离x，此过程中ab上产生热量Q是$\frac{1}{2}$F•x-$\frac{576{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{49{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 解决本题的关键要把握导体棒刚要滑动时的临界条件：静摩擦力达到最大值，运用力平衡条件和能量守恒定律求解．