Question

7．如图，在半径为r的轴上悬挂着一个质量为M的水桶P，轴上均匀分布着6根手柄，每个柄端固定有质量均为m的金属球，球离轴心的距离为l，轮轴、绳和手柄的质量及摩擦均不计．现由静止释放水桶，整个装置开始转动．
（1）当水桶下降的高度为h时，水桶的速度为多少？
（2）已知水桶匀加速下降，下降过程中细绳的拉力为多少？

Answer 1

分析 （1）水桶下降的过程中，水桶和金属球组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解；
（2）水桶匀加速下降，根据运动学基本公式求出加速度，再根据牛顿第二定律求解绳子拉力．

解答 解：（1）水桶下降的高度为h时，水桶的速度为v₁，金属球的速度为v₂，系统机械能守恒，有：$Mgh=\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}×6mv_2^2$，
又：$\frac{v_1}{v_2}=\frac{ωr}{ωl}=\frac{r}{l}$，
解得：${v_1}=\sqrt{\frac{{2Mgh{r^2}}}{{M{r^2}+6m{l^2}}}}$，
（2）水桶匀加速下降的加速度为a，则：$v_1^2=2ah$，$a=\frac{v_1^2}{2h}=\frac{{Mg{r^2}}}{{M{r^2}+6m{l^2}}}$，
对水桶：Mg-T=Ma，
解得：T=M（g-a）=$\frac{{6Mmg{l^2}}}{{M{r^2}+6m{l^2}}}$
答：（1）当水桶下降的高度为h时，水桶的速度为$\sqrt{\frac{2Mgh{r}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$；
（2）已知水桶匀加速下降，下降过程中细绳的拉力为$\frac{6Mmg{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}$．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律、运动学基本公式以及牛顿第二定律的直接应用，知道水桶的速度和金属球的速度的关系是解题的关键，难度适中．