Question

18．如图所示，质量为m=4t的汽车以恒定功率P=60kW从A点出发，先沿着长度为s₁=400m，倾角为α的斜面（sinα=0.02）运动到B（其受到的阻力为车重k₁=0.1倍），随后沿着长度为s₂=500m的水平面运动到C（其受到的阻力为车重k₂=0.1倍）．若汽车在AB、BC段、BA段最后均可达到匀速行驶，g取10m/s²．求：

（1）汽车在AB段达到匀速行驶时的速度v₁为多大？A到B耗时t₁为多少？
（2）为了省油，汽车发动机在BC段至少需工作多久才能到达C点？
（3）若汽车仍以此恒定功率先沿CB的水平面运动，随后沿BA的斜面运动到A点，则与原路径相比，通过计算说明哪种更省时？

Answer 1

分析 （1）由功率的表达式P=FV及动能定理可分别求出汽车在斜坡匀速行驶的速度与时间；
（2）根据动能定理可求出汽车发动机在BD段至少还需工作的时间；
（3）由汽车克服阻力做功相同，根据动能定理可知，末速度越大的汽车工作时间越长，从而由末速度来确定谁能更省时．

解答 解：（1）在AB段汽车匀速v₁，$\frac{P}{v_1}={k_1}$mg+mgsinα，
得 v₁=$\frac{P}{{{k_1}mg+mgsinα}}$=12.5m/s
耗时t₁，由Pt₁-k₁mgs₁-mgs₁sinα=$\frac{1}{2}m{v}_{1}$²，
解得t₁=417s
（2）汽车在AB段速度已达到匀速，若以v₁为初速滑行汽车不能达到C点．设汽车发动机在BC段至少需工作t时间，才能使得汽车恰好能到达C点．
根据动能定理：Pt-k₂mgs₂=0-$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得t=28.5s
（3）两个路径中汽车克服阻力做功相同．根据动能定理有：
Pt₁′-W_阻-mgs₁sinα=$\frac{1}{2}$mv₂²，Pt₂′-W_阻+mgs₁sinα=$\frac{1}{2}$mv₃²，
在BC段汽车达到匀速时，有：v₂=$\frac{P}{{{k_2}mg}}$=15m/s，
从BA段下行达到匀速时，有：v₃=$\frac{p}{{k}_{1}mg-mgsinα}=18.75$m/s
解得t₁′=72.83s，t₂′=66.39s，所以汽车沿原来路径耗时更多．
答：（1）汽车在AB段达到匀速行驶时的速度v₁为12.5m/s，A到B耗时t₁为417s；
（2）为了省油，汽车发动机在BC段至少需工作28.5s才能到达C点；
（3）汽车沿原来路径耗时更多．

点评 本题考查动能定理，并体现动能定理的过程重要性．同时要注意定理中的速度与位移是同一参考系，及功的正负．还要关注的是牵引力做功W=Pt．