Question

3．如图所示，长为L质量为M的圆柱形木棒竖直放置，在其顶部套一质量为m的铁质圆环，设铁环与木棒发生相对滑动时，彼此间有大小恒为kmg（k＞1）的滑动摩擦力，现突然在木棒下端对木棒施加一个很大的冲击力，使木棒瞬间获得一个竖直向上的速度v₀，
（1）试求开始相对滑动时，两者的加速度大小；
（2）设木棒足够长，求木棒上升的最大高度；
（3）若要求铁环在木棒下端落地前不滑离木棒，该木棒的长度至少为多长？

Answer 1

分析 （1）分别取木棒和铁环为研究对象，根据牛顿第二定律求解两者加速度的大小
（2）从开始相对滑动到木棒达到最大高度有两个过程，即：从开始滑动到相对静止和相对静止到木棒达到最大高度，两过程中木棒的加速度发生了变化，应分段处理
（3）从开始相对滑动到两者速度相等，铁环和木棒有相对运动，当两者相对静止后一起做上抛运动，直至落地前无相对滑动，故木棒的最短长度应为从开始相对滑动到两者相对静止的过程中木棒和铁环上升的高度差

解答 解：（1）设M与m的加速度的大小分别为a₁、a₂，分别取M、m为研究对象，由牛顿第二定律可得：
Mg+kmg=Ma₁
kmg-mg=ma₂
解得：
${a}_{1}=\frac{M+km}{M}g$，方向竖直向下
a₂=（k-1）g，方向竖直向上
（2）设从开始到相对静止，经历的时间为t，两者的速度为v，木棒上升的高度为h₁，则根据运动学公式有：
v₀-a₁t=a₂t，解得：$t=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}=\frac{M{v}_{0}}{k（M+m）g}$
${h}_{1}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$，解得：${h}_{1=}\frac{M（2kM+km-M）{v}_{0}^{2}}{2g{k}^{2}（M+m）^{2}}$
v=a₂t，解得：$v=\frac{{M（k-1）v}_{0}}{k（M+m）}$
设两者相对静止后上升的高度为h₂，以系统为研究对象，由运动学公式得：
${h}_{2}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2g}=\frac{{M}^{2}（k-1）^{2}{v}_{0}^{2}}{2g{k}^{2}（M+m）^{2}}$
所以，木棒上升的总高度为：$h={h}_{1}+{h}_{2}=\frac{M（kM+m）{v}_{0}^{2}}{2gk（M+m）^{2}}$
（3）设从开始到刚好相对静止的过程中铁环上升的高度为h₃，取铁环为研究对象，根据运动学公式可得：
${h}_{3}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{（k-1）{M}^{2}}{2{k}^{2}（M+m）^{2}g}$
此后，两者相对静止做上抛运动，直至落地前无相对滑动，所以木棒的长度L不应h₁-h₃，即：
L≥$\frac{M{v}_{0}^{2}}{2gk（M+m）}$
答：
（1）开始相对滑动时，木棒和铁环的加速度大小分别为$\frac{M+km}{M}g、（k-1）g$
（2）木棒上升的最大高度为$\frac{M（kM+m）{v}_{0}^{2}}{2gk（M+m）^{2}}$
（3）若要求铁环在木棒下端落地前不滑离木棒，该木棒的长度至少为$\frac{M{v}_{0}^{2}}{2gk（M+m）}$

点评 （1）此题考查了牛顿第二定律和多过程问题的处理方法
（2）从开始相对滑动到两者相对静止过程中木棒做减速运动，铁环做加速度运动；相对静止后两者一直相对静止，直至落地是解决（2）、（3）两问的关键